统计-5 正态分布是概率分布的神

我们所生活的世界，是一个随机有好有坏不完美的世界，千万不要被绝望感裹挟。因为我们可以通过行动将好的放大，坏的缩小。而时间权、空间权和概率权就是我们放大缩小的工具。

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概率论的两大”黄金定理“分布是大数定律和中心极限定理，前面有介绍过大数定律，而中心极限定理就是今天要说的正态分布的数学证明。

中心极限定理，大量独立的随机变量相加，无论各个随机变量的分布是怎样的，它们相加的结果必定会趋向于正态分布。换句通俗话来说就是样本均值约等于总体均值。。

重点理解一下两大黄金定理的区别：直观上来讲，想到大数定律的时候，你脑海里浮现的应该是一个样本，而想到中心极限定理的时候脑海里应该浮现出很多个样本。

好，我们再回去看看标准差和标准误差（样本>=30)的区别：统计-4 统计描述：高风险高收益

标准误公式：

所有的分布，不是正态分布，就是在变成正态分布的路上

我们把随机事件不同结果和对应的概率全部统计出来后，我们把概率进行一个排列分布，在此前用一首古诗形容：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”。
通过分布我们突然看清了整个随机事件，发现概率的分布其实很多是暗含规律的。我们也用一句古诗形容这种上帝的视角：“会当凌绝顶，一览众山小”。这样也就和我们前文说的从局部的不确定性转变成整体的确定性了。

正态分布（也叫高斯分布）是我们从概率分布里发现的最重要也最简单的一种。normal distribution，直接翻译过来就是“正常的分布”“一般的分布”，关键：中心极限定理告诉我们，只要随机事件有很多独立的因素共同作用，无论每个因素本身是什么分布，这个随机事件最终都会形成正态分布。也就说明它普遍存在。更夸张的是任何分布叠加最终都会形成正态分布，所以无论是对数分布还是幂律分布，无论是指数分布还是其他任何分布，只要自身不断演化，不断自己叠加自己，最终也一样会变成正态分布。所以，所有的分布，不是正态分布，就是在变成正态分布的路上。按照正态分布的钟形曲线分布和演化，就是每个随机事件的必然宿命，好像冥冥中自有定数。正态分布是概率分布的神！（引用借鉴了刘嘉老师精彩精确描述，但最让我震撼的是这句话。推荐大家学习刘嘉老师的概率论）

在统计学中，当我们不知道某个随机事件服从什么分布的时候，最常见的方法就是假设它服从正态分布，比假设其他分布的成功率更高，然后再用数据验证。
1、平均数决定了曲线的位置，能比较好坏，标准差决定了曲线的形状，能比较波动，两者结合，可以比较专业和业余。

2、曲线下面积等于1

3、以均数为中心，左右对称

4、频数集中于均数周围

5、正态分布最高点所对应X轴的值为数据的平均数

6、正态分布的公式：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


u = 0   # 均值μ
sig = math.sqrt(1)  # 标准差δ
x = np.linspace(u - 3*sig, u + 3*sig, 50)   # 定义域
y = np.exp(-(x - u) ** 2  (2 * sig ** 2))  (math.sqrt(2*math.pi)*sig) # 定义曲线函数
plt.plot(x, y, "g", linewidth=2)    # 加载曲线
plt.grid(True)  # 网格线
plt.show()  # 显示

7、标准正态分布

统计-4 统计描述：高风险高收益
前面咱们聊过标准Z分数，聊过标准差的来源，把任何正态分布转变成标准正态分布是同理。
标准正态分布与任何正态分布曲线下的面积规律是没有发生改变的，所以我们可以通过转换可以轻易计算。

转变公式：

幂律分布

在咱们电商商品里经常出现销售前20%的商品往往占到销售额的80%，这是传说中的28法则，28法则也是幂律分布最直观的体现。

幂律分布没有尺度的限制，不管截取任何一个部分，都仍然呈现幂律分布的特征。

而且电商行业选取关键词往往会选取长尾词来做商品标题，长尾也叫肥尾，很多金融现象也会经常发生。在正态分布里，数据非常集中，非常极端的数据几乎不可能出现，可以直接忽略不不计。而在幂律分布里，再极端的数据都有出现的可能。

幂律分布是不可预测的。

泊松分布

这个我个人认为非常好用！还记得咱们之前讲独立性这块嘛，统计-2 概率P值，统计学意义泊松分布针对的就是独立性随机事件。
公式：

它不是求解整体发生率，而是求发生次数的概率，是计算累积分布概率。

还记得当样本足够小一切皆有可能这句话嘛，这个时候可以好好体会一下。

举个例子，在某个时间段内吃瓜的数学期望次数应该是5，那这个时间内吃6次及7次以上概率是1-61.6%=38.4%.大家特别留意一下标黄部分，当超过期望值后概率分布函数就开始降低了

如果我们分别降低和增加样本量，对比看看统一均数的概率会发生什么变化？

达到期望值3后还能再吃到瓜的概率是1-64.72%=35.28%，达到期望值3后还能再吃到瓜的概率是1-58.30%=41.7%，我们来进行一个对比：35.28%<38.4%<41.7%,说明当样本量越大，越能抵消随机性带来的误差，所以达到均值后再吃瓜的概率也会提升。购买保险的数学原理就是从这而来。同时，为了预防不测，我们还需要留有一些冗余。