一个案例搞懂原码、反码、补码，不懂得请看过来

五角钱的程序员 2020-07-31

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图丨pexels

1. 预备知识

认识二进制，十六进制。会二进制与十进制的相互转化运算

由计算机的硬件决定，任何存储于计算机中的数据，其本质都是以二进制码存储
。

根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架。一台计算机由运算器，控制器，存储器，输入和输出设备组成。其中运算器，只有加法运算器，没有减法运算器（据说一开始是有的，后来由于减法器硬件开销太大，被废了）

所以，计算机中的没法直接做减法的，它的减法是通过加法来实现的。
你也许会说，现实世界中所有的减法也可以当成加法的，减去一个数，可以看作加上这个数的相反数。当然没错，但是前提是要先有负数的概念。这就为什么不得不引入一个该死的符号位。

1. 而且从硬件的角度上看，只有正数加负数才算减法。
2. 正数与正数相加，负数与负数相加，其实都可以通过加法器直接相加。

原码，反码，补码的产生过程，就是为了解决，计算机做减法和引入符号位（正号和负号）的问题。

2. 正数位移运算

有三个位移运算：

<<：左移
>>：右移
>>>：无符号右移

我们来举一个栗子:

public class test {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(3 << 1); // 6
        System.out.println(3 >> 1); // 1
        System.out.println(3 >>> 1); // 1
        System.out.println(-3 << 1); // -6
        System.out.println(-3 >> 1); // -2
        System.out.println(-2 >>> 1); // 2147483647
    }
}

是不是一眼看到上面栗子的打印结果，是不是很懵逼，下来我来解释一下这个结果到底是如何运算出来的。

上面的栗子中有“3”和“-3”，这是两个十进制数，并且是int类型的(java中占四个字节)，位运算是基于二进制bit来的，所以我们需要将十进制转换为二进制之后再进行运算：

3 >> 1
：十进制“3”转换成二进制为“00000000 00000000 00000000 00000011”，再将二进制右移一位，低位丢弃，高位补0，所以结果为“00000000 00000000 00000000 00000001”，换算成十进制则为“1”
3 << 1
：十进制“3”转换成二进制为“00000000 00000000 00000000 00000011”，再将二进制左移一位，高位丢弃，低位补0，所以结果为“00000000 00000000 00000000 00000110”，换算成十进制则为“6”

对于这两种情况非常好理解，那什么是无符号右移，以及负数是怎么运算的呢？

我们先来看-3 << 1
与-3 >> 1
，这两个负数的左移与右移操作其实和正数类似，都是先将十进制数转换成二进制数，再将二进制数进行移动，所以现在的关键是负数如何用二进制数进行表示。

3. 原码、反码、补码

接下来我们主要介绍十进制数用二进制表示的不同方法，所以为了简洁，我们用一个字节，也就是8个bit来表示二进制数。

1. 原码

最高位为符号位，0代表正数，1代表负数，非符号位为该数字绝对值的二进制表示。

十进制	原码
3	0000 0011
-3	1000 0011

原码其实是最容易理解的，只不过需要利用二进制中的第一位来表示符号位，0表示正数，1表示负数，所以可以看到，一个数字用二进制原码表示的话，取值范围是-111 1111 ~ +111 1111
，换成十进制就是-127 ~ 127
。

2. 反码

正数的反码与原码一致；

负数的反码是对原码按位取反，只是最高位(符号位)不变。

如果计算机内部采用原码来表示数，那么在进行加法和减法运算的时候，需要转化为两个绝对值的加法和减法运算；

计算机既要实现加法器，又要实现减法器，代价有点大，那么可不可以只用一种类型的运算器来实现加和减的远算呢？

很容易想到的就是化减为加，对于计算机来说最好只有加法这样计算机会更加简单高效，我们知道在数学中5-3=2
，其实可以转换成5+(-3)=2
，这就表示减法可以用加法表示，而乘法是加法的累积，除法是减法的累积，所以在计算机中只要有加法就够了。

一个数字用原码表示是容易理解的，但是需要单独的一个bit来表示符号位。并且在进行加法时，计算机需要先识别某个二进制原码是正数还是负数，识别出来之后再进行相应的运算。这样效率不高，能不能让计算机在进行运算时不用去管符号位，也就是说让符号位也参与运算，这就要用到反码。

十进制	原码	反码
3	0000 0011	0000 0011
-3	1000 0011	1111 1100

正数的反码和原码一样，负数的反码就是在原码的基础上符号位保持不变，其他位取反。

那么我们来看一下，用反码直接运算会是什么情况，我们以5-3
举例。

5 - 3
等于 5 + (-3)

	原码	反码
5	0000 0101	0000 0101
-3	1000 0011	1111 1100

5-3
= 5+(-3)
= 0000 0101(反码) + 1111 1100(反码)
= 0000 0001(反码)
= 0000 0001(原码)
= 1

这不对呀?!! 5-3=1?，为什么差了1？

我们来看一个特殊的运算：

1-1
= 1+(-1)
= 0000 0001(反码) + 1111 1110(反码)
= 1111 1111(反码)
= 1000 0000(原码)
= -0

我们在来看一个特殊的运算：

0+0
= 0000 0000(反码) + 0000 0000(反码)
= 0000 0000(反码)
= 0000 0000(原码)
= 0

我们可以看到1000 0000表示-0，0000 0000表示0，虽然-0和0是一样的，但是在用原码和反码表示时是不同的，我们可以理解为在用一个字节表示数字取值范围时，这些数字中多了一个-0，所以导致我们在用反码直接运算时符号位可以直接参加运算，但是结果会不对。

3. 补码

为了解决反码的问题就出现了补码。

正数的补码与原码一致；

负数的补码是该数的反码加1。

十进制	原码	反码	补码
3	0000 0011	0000 0011	0000 0011
-3	1000 0011	1111 1100	1111 1101

正数的补码和原码、反码一样，负数的补码就是反码+1。

十进制	原码	反码	补码
5	0000 0101	0000 0101	0000 0101
-3	1000 0011	1111 1100	1111 1101

5-3
= 5+(-3)
= 0000 0101(补码) + 1111 1101(补码)
= 0000 0010(补码)
= 0000 0010(原码)
= 2

5-3=2！！正确。

再来看特殊的：

1-1
= 1+(-1)
= 0000 0001(补码) + 1111 1111(补码)
= 0000 0000(补码)
= 0000 0000(原码)
= 0

1-1=0！！正确

再来看一个特殊的运算：

0+0
= 0000 0000(补码) + 0000 0000(补码)
= 0000 0000(补码)
= 0000 0000(原码)
= 0

0+0=0！！也正确。

所以，我们可以看到补码解决了反码的问题。

所以对于数字，我们可以使用补码的形式来进行二进制表示。

总结一下就是：

正数的原码、反码、补码是一致的；
负数的补码是反码加1，反码是对原码按位取反，只是最高位(符号位)不变；
计算机数字运算均是基于补码的。

补码有啥好？

如果计算机内部采用原码来表示数，那么在进行加法和减法运算的时候，需要转化为两个绝对值的加法和减法运算；

计算机既要实现加法器，又要实现减法器，代价有点大，那么可不可以只用一种类型的运算器来实现加和减的远算呢？

很容易想到的就是化减为加，举一个生活中的例子来说明这个问题：

时钟一圈是360度，当然也存在365度，但其实它和5度是一样的；

相同的道理，-30度表示逆时针旋转30度，其与顺时针旋转330度是一样的；

这里数字360表示时钟的一圈，在计算机里类似的概念叫模，它可以实现化减为加，本质上是将溢出的部分舍去而不改变结果。

易得，单字节(8位)运算的模为256=2^8。

在没有符号位的情况下，127+2=129，即：

这时，我们将最高位作为符号位，计算机数字均以补码来表示，则1000 0001的原码为减1后按位取反得1111 1111，也就是-127。

也就是说，计算机里的129即表示-127，相当于模256为一圈，顺时针的129则和逆时针127即-127是一样的。

故可以得到以下结论：

负数的补码为模减去该数的绝对值。

如-5的补码为：

-5=256-5=251=1111 1011(二进制)

同样的，临界值-128也可以表示出来：

-128=256-128=128=1000 0000(二进制)

但是正128就会溢出了，故单字节(8位)表示的数字范围为-128--127。

最后，我们来看一下，补码是如何通过模的溢出舍弃操作来完成化减为加的！

16-5=16+(-5)=11

1 0000 1011将溢出位舍去，得0000 1011(二进制)=11。

4. 负数位移运算

我们再来看-3 << 1
与-3 >> 1
。

-3用原码表示为10000000 00000000 00000000 00000011

-3用反码表示为11111111 11111111 11111111 11111100

-3用补码表示为11111111 11111111 11111111 11111101

-3 << 1
，表示-3的补码左移一位后为11111111 11111111 11111111 11111010
，该补码对应的反码为

11111111 11111111 11111111 11111010
- 1
= 11111111 11111111 11111111 11111001

该反码对应的原码为：符号位不变，其他位取反，为10000000 00000000 00000000 00000110
，表示-6。

所以-3 << 1 = -6
。

同理-3 >> 1
是一样的计算方法，这里就不演示了。

5. 无符号右移

上面在进行左移和右移时，我有一点没讲到，就是在对补码进行移动时，符号位是固定不动的，而无符号右移是指在进行移动时，符号位也会跟着一起移动。

比如-2 >>> 1
。

-2用原码表示为10000000 00000000 00000000 00000010

-2用反码表示为11111111 11111111 11111111 11111101

-2用补码表示为11111111 11111111 11111111 11111110

-2的补码右移1位为：01111111 11111111 11111111 11111111

右移后的补码对应的反码、原码为：01111111 11111111 11111111 11111111
（因为现在的符号位为0，表示正数，正数的原、反、补码都相同）

所以，对应的十进制为2147483647。

也就是-2 >>> 1 = 2147483647

6. 总结

文章写的可能比较乱，希望大家能看懂，能有所收获。这里总结一下，我们可以发现：

3 << 1 = 6 = 3*2

3 << 2 = 12 = 3*2*2

3 << n = 3*2ⁿ

m << n = m * 2ⁿ

右移则相反，所以大家以后在源码中再看到位运算时，可以参考上面的公式。

// END

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