每日一题——爬楼梯

有理想的菜鸡 2020-06-16

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菜鸡每日一题系列打卡70天

每天一道算法题目

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坚持就是胜利，我们一起努力！

题目描述(引自LeetCode)

假设你正在爬楼梯。需要n阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬1或2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定n是一个正整数。

示例 1：
输入：2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：
输入：3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

题目分析

这是一道经典的动态规划题目，但不是一道非动态规划不可的题目。在本题中，菜鸡将尝试使用六种解法进行解答。

其中，第一种解法(普通递归)由于时间复杂度太高，在LeetCode提交中会TLE。其余五种解法均可AC。

Talk is cheap， show you the code！

代码实现

// 普通递归，包含大量重复计算
// 时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 4) return n;
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
}

// 记忆化递归，通过数组来保存中间计算的结果
// 时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 4) return n;
        int[] tmp = new int[n];
        tmp[0] = 1;
        tmp[1] = 2;
        return getResult(n - 1, tmp);
    }


    private int getResult(int n, int[] tmp) {
        if (tmp[n] > 0) return tmp[n];
        tmp[n] = getResult(n - 1, tmp) + getResult(n - 2, tmp);
        return tmp[n];
    }
}

// 动态规划
// 时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 4) return n;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

// 斐波那契数列
// 时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 4) return n;
        int a = 2, b = 3;
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            int tmp = a + b;
            a = b;
            b = tmp;
        }
        return b;
    }
}

// 斐波那契数列通项公式的矩阵形式
// 利用快速幂的原理，时间复杂度为O(logn)，空间复杂度为O(1)
public class Solution {
   public int climbStairs(int n) {
       int[][] a = {{1, 1}, {1, 0}};
       int[][] b = {{1, 0}, {0, 1}};
       while (n > 0) {
           if ((n & 1) == 1) b = multi(b, a);
           a = multi(a, a);
           n >>= 1;
       }
       return b[0][0];
   }
   
   public int[][] multi(int[][] a, int[][] b) {
       int[][] c = new int[2][2];
       for (int i = 0; i < 2; i++) {
           for (int j = 0; j < 2; j++) {
               c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
           }
       }
       return c;
   }
}

// Binet's Formula
// 时间复杂度为O(logn)，空间复杂度为O(1)
public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        return (int)((Math.pow((1 + Math.sqrt(5))  2, n + 1) - Math.pow((1 - Math.sqrt(5))  2, n + 1))  Math.sqrt(5));
    }
}