2NF
定义6 若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于任何一个候选码，则R∈2NF。
下面举一个不是2NF的例子。
【例1】有关系模式S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)，其中Sloc为学生的住处，
并且每个系的学生住在同一个地方。S-L-C 的码为(Sno, Cno)。则函数依赖有
函数依赖关系如下图所示。
图中用虚线表示部分函数依赖。另外，Sdept还函数确定Sloc，这一点在讨论第二范式时暂不考虑。可以看到非主属性Sdept、Sloc并不完全函数依赖于码。因此S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)不符合2NF定义，即S-L-C∉2NF。
一个关系模式R不属于2NF，就会产生以下几个问题：
(1)插入异常。假若要插入一个学生Sno=S7，Sdept=PHY，Sloc=BLD2，但该生还未选课，即这个学生无Cno，这样的元组就插不进S-L-C中。因为插入元组时必须给定码值，而这时码值的一部分为空，因而学生的固有信息无法插入。
(2)删除异常。假定某个学生只选一门课，如S4就选了一门课C3，现在C3这门课他也不选了，那么C3这个数据项就要删除。而C3是主属性，删除了C3，整个元组就必须一起删除，使得S4的其他信息也被删除了，从而造成删除异常，即不应删除的信息也删除了。
(3)修改复杂。某个学生从数学系(MA)转到计算机科学系(CS)，这本来只需修改此学生元组中的Sdept分量即可，但因为关系模式S-L-C中还含有系的住处Sloc属性，学生转系将同时改变住处，因而还必须修改元组中的Sloc分量。另外，如果这个学生选修了k门课，Sdept、Sloc重复存储了k次，不仅存储冗余度大，而且必须无遗漏地修改k个元组中全部Sdept、Sloc 信息，造成修改的复杂化。
分析上面的例子可以发现问题在于有两类非主属性，一类如Grade，它对码是完全函数依赖；另一类如Sdept、Sloc，它们对码不是完全函数依赖。解决的办法是用投影分解把关系模式S-L-C分解为两个关系模式：SC(Sno, Cno, Grade)和S-L(Sno, Sdept, Sloc)。
关系模式SC与S-L中属性间的函数依赖可以用下图表示如下。
关系模式SC的码为(Sno, Cno)，关系模式S-L的码为Sno，这样就使得非主属性对码都是完全函数依赖了。
3NF
定义7 设关系模式R<U,F>∈1NF，若R中不存在这样的码X，属性组Y及非主属性Z(Z⊉Y)使得X→Y，Y→Z成立，Y不依赖于X，则称R<U,F>∈3NF。
由定义7可以证明，若R∈3NF，则每一个非主属性既不传递依赖于码，也不部分依赖于码。也就是说，可以证明如果R属于3NF，则必有R属于2NF。
在上左图中关系模式SC没有传递依赖，而上右图中关系模式S-L存在非主属性对码的传递依赖。在S-L中，由Sno→Sdept(Sno不依赖于Sdept)，Sdept→Sloc，可得Sno传递依赖Sloc。因此SC∈3NF，而S-L∉3NF。
一个关系模式R若不是3NF，就会产生与上面2NF相类似的问题。读者可以类
比2NF的反例加以说明。
解决的办法同样是将S-L分解为：S-D (Sno, Sdept)和D-L(Sdept,Sloc)。分解后的关系模式S-D与D-L 中不再存在传递依赖。
BCNF
BCNF(Boyce Codd Normal Form)是由Boyce与Codd提出的，比上述的3NF又进了一步，通常认为BCNF是修正的第三范式，有时也称为扩充的第三范式。
定义8 关系模式R<U,F>∈1NF，若X→Y且Y⊊X时X必含有码，则R<U,F>∈BCNF。
也就是说，关系模式R<U,F>中，若每一个决定因素都包含码，则R<U,F>∈BCNF。
由BCNF的定义可以得到结论，一个满足BCNF的关系模式有：
所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖。
所有主属性对每一个不包含它的码也是完全函数依赖。
没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。
由于R∈BCNF，按定义排除了任何属性对码的传递依赖与部分依赖，所以R∈3NF。严格的证明留给读者完成。但是若R∈3NF，R未必属于BCNF。
下面用几个例子说明属于3NF的关系模式有的属于BCNF，但有的不属于BCNF。
【例2】考察关系模式C(Cno, Cname, Pcno)，它只有一个码Cno，这里没有任何属性对Cno部分依赖或传递依赖，所以C∈3NF。同时C中Cno是唯一的决定因素，所以C∈BCNF。对于关系模式SC(Sno, Cno, Grade)可作同样分析。
【例3】关系模式S(Sno, Sname, Sdept, Sage),假定Sname也具有唯一性，那么S就有两个码，这两个码都由单个属性组成，彼此不相交。其他属性不存在对码的传递依赖与部分依赖，所以S∈3NF。同时S 中除Sno、Sname 外没有其他决定因素，所以S也属于BCNF。
以下再举几个例子。
【例4】关系模式SJP(S, J, P)中，S是学生，J表示课程，P表示名次。每一个学生选修每门课程的成绩有一定的名次，每门课程中每一名次只有一个学生(即没有并列名次)。
由语义可得到下面的函数依赖：
(S,J)→P，(J,P)→S
所以(S,J)与(J,P)都可以作为候选码。这两个码各由两个属性组成，而且它们是相交的。这个关系模式中显然没有属性对码传递依赖或部分依赖。所以SJP∈3NF，而且除(S,J)与(J,P)以外没有其他决定因素，所以SJP∈BCNF。
【例5】关系模式STJ(S,T,J)中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。每一教师只教一门课，每门课有若干教师，某一学生选定某门课，就对应一个固定的教师。由语义可得到如下的函数依赖。
(S,J)→T，(S,T)→J，T→J
函数依赖关系可以用下图表示，这里(S,J)与(S,T)都是候选码。
STJ是3NF，因为没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖,但STJ不是BCNF关系，因为T是决定因素，而T不包含码。
对于不是BCNF的关系模式，仍然存在不合适的地方。读者可自己举例指出STJ的不合适之处。非BCNF的关系模式也可以通过分解成为BCNF。例如STJ可分解为ST(S,T)与TJ(T,J），它们都是BCNF。
3NF和BCNF是在函数依赖的条件下对模式分解所能达到的分离程度的测度。一个模式中的关系模式如果都属于BCNF，那么在函数依赖范畴内它已实现了彻底的分离，已消除了插入和删除的异常。3NF的“不彻底”性表现在可能存在主属性对码的部分依赖和传递依赖。
