图1、图2和图3展示了二维空间向量A和B相交、正交和重合的情况。
图 1向量A和B
图 2向量A和B正交
图 3向量A和B重合
绘图代码【Python】
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltplt.rc("font",family='MicroSoft YaHei',weight="bold")# 定义向量A和BA = np.array([2,1])B = np.array([2,3.5])# 创建坐标轴ax = plt.axes()# (1,1)为起点，绘制向量A和Bax.arrow(1, 1, *A, color='b', linewidth=2.0, head_width=0.20, head_length=0.25)ax.arrow(1, 1, *B, color='m', linewidth=2.0, head_width=0.20, head_length=0.25)# 设置X轴范围plt.xlim(0,5)# 设置X轴刻度major_xticks = np.arange(0, 5)ax.set_xticks(major_xticks)# 设置Y轴范围plt.ylim(0, 5)# 设置Y轴刻度major_yticks = np.arange(0,5)ax.set_yticks(major_yticks)# 绘制网格线plt.grid(b=True, which='major')# 绘制标注ax.text(A[0]+1.5,A[1]+1,"向量A（2,1）")ax.text(B[0]+1.5,B[1]+1,"向量B（2,3.5）")ax.text(1.5,1.5,"夹角θ")# 显示图像plt.show()
在二维空间内，A和B两个向量相交情况可以由夹角θ确定：若θ等于90度，向量A和B垂直，也称为向量A和B正交；若θ等于0度，向量A和B重合且方向相同；若θ等于180度，向量A和B在一条直线上，且方向相反；若θ大于0度，且小于180度，且不等于90度，向量A和B相交。可见向量A和B正交是相交的一种特殊情况。
向量的相交情况可以推广到n维空间，在n维空间内，任意两个向量A和B都成立。
上图画出了空间中相互垂直的两个向量，给出了一个直角边长分别为||A||和||B||，斜边长为||A+B||的直角三角形。由于向量A和B相互垂直，应用勾股定理可知：
下面推导||A+B||^2公式：
||A+B||^2=(A+B)*(A+B)=A*A+2A*B+B*B=||A||^2+||B||^2+2A*B
上面推导的公式对n维空间任意两个向量A和B都成立
比较上面的两个公式，可得出A*B=0，即两个相互垂直的向量的点积为零。下面给出向量正交的定义：
对n维空间上两个向量A和B，当A*B=0时，称它们互相垂直或正交。
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