程序与数学：向量与向量空间

数学遇上机器学习 2021-10-31

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笛卡尔坐标系中用数对（a1,a2）来定位平面上的点，三维空间使用三元组（a1,a2,a3)来定位空间中的点。

绘图代码【matlab】

% 定义数对（a1，a2）
a1 = 3
a2 = 9
% 绘制点
scatter(a1,a2,60,'filled')
% 绘制标注
text(a1+0.1,a2,"(a1=3,a2=9)",'color','m')
hold on
% 绘制直线
line([3,3],[0,a2],'linestyle',':','linewidth',3)
hold on
% 绘制直线
line([0,3],[a2,a2],'linestyle',':','linewidth',3)
% 设置坐标轴范围
xlim([0,6])
ylim([0,18])

绘图代码【matlab】

% 定义三元组（a1,a2,a3）
a1 = 3
a2 = 9
a3 = 6
% 绘制点
scatter3(a1,a2,a3,60,'filled')
% 绘制标注
text(a1+0.5,a2,a3,"(a1=3,a2=9,a3=6)",'color','m')
hold on
% 绘制X轴到（a1,a2,a3）的连接线
% (3,0,0)(3,9,6)
plot3([3,3],[0,9],[0,6],'linestyle',':','linewidth',3)
hold on
% 绘制Y轴到（a1,a2,a3）的连接线
% (0,9,0)(3,9,6)
line([0,3],[9,9],[0,6],'linestyle',':','linewidth',3)
% 绘制Z轴到（a1,a2,a3）的连接线
% (0,0,6)(3,9,6)
line([0,3],[0,9],[6,6],'linestyle',':','linewidth',3)
% 设置坐标轴范围
xlim([0,6])
ylim([0,18])
zlim([0,12])

四维空间可以使用四元组（a1,a2,a3,a4）来定位空间的点，以此类推，我们可以把它推广到五元组以及更一般的n元组：

这样的n元组称为n维点或n维向量，这n个数：

称为该点的坐标或该向量的分量，在线性代数中，点和向量看作同一个概念，不加以区分。所有的n维向量组成的集合称为n维空间或n元组组成的向量空间，用记号：

R^n

表示，其中R表示该空间向量的分量均为实数。

下图是一个由若干向量构成的圆，向量的起点为（2,2），向量的长度为极径2，向量的终点为圆周上的点。

绘图代码【matlab】

% 设置极径为2
r=2;
% 在0至2*pi范围内设置极角，极角的间隔为pi/100
theta=0:pi/100:2*pi;
% 创建长度为numel(theta)的一维数组ox和oy，元素的值为2
ox = linspace(2,2,numel(theta));
oy = ox
% 计算圆周各点的坐标
x=r*cos(theta);
y=r*sin(theta);
% 绘制向量
quiver(ox,oy,x,y)
axis equal

尽管向量的定义与几何没有关系，但三维或三维以下空间中的向量可以使用几何来描述，帮助我们更好地理解向量。

在二维空间中，设A、B为空间中的两点，若将其中一点A看作起点，将另一点B看作终点，则可以称这对点为一个几何向量，在图像上用从A到B的有向线段表示这个几何向量，并将这个向量表示为：

下图是使用matlab函数quiver()绘制的向量AB，quiver()函数是在指定的起点绘制向量，如在起点A绘制向量B，因此使用该函数绘制的向量AB，并不是标准的几何向量。

绘图代码【matlab】

% 定义点A
A = [2,3]
% 定义点B
B = [5,6]
% 绘制向量
quiver(ox,oy,x,y)
quiver(A(1),A(2),B(1),B(2))
% 绘制标注
text(A(1),A(2)-0.2,"A(2,3)",'color','m')
text(B(1)+A(1),B(2)+A(1),"B(5,6)",'color','m')
% 设置坐标轴范围
xlim([0,10])
ylim([0,10]

向量一般使用大写字母A，B，C，……来表示向量，用小写字母a，b，c，……来表示向量的分量，例如：

向量是n元组的实数，n元组的复数也是向量，称为复向量，现在暂时只考虑实数向量。我们引入向量的运算，向量的运算主要是相等、加法和纯量乘法，纯量也称为标量，是实数的同义词。

向量的相等

若两个向量的分量分别相等，则认为这两个向量是相等的向量。例如在n维空间内有A和B两个向量：

A=B与下列等式等价：

下图展示了两个相等的向量A和B，从图中可以看出，当两个向量相等时，这两个向量或者重合或者平行，其长度也相等。

绘图代码【matlab】

%定义向量A
A = [1,3]
%定义向量B
B = [1,3]
quiver(2,2,A(1),A(2))
hold on
quiver(5,3,B(1),B(2))
% 绘制标注
text(A(1)+2,A(2)+2,"A(1,3)",'color','m')
text(B(1)+5,B(2)+3,"B(1,3)",'color','m')
% 设置坐标轴范围
xlim([0,8])
ylim([0,8])

向量的加法

若两个向量相加，需要将这两个向量对应的分量分别相加，相加的结果是一个新的向量，向量可以执行加法运算的前提条件是，两个向量在同维度空间内，且两个向量的分量数目相同。

例如在n维空间内有A和B两个向量：

A+B=

向量的减法运算可以转换为加法运算，先将为减数的向量取反，再执行加法运算。例如：

A-B=A+(-B)

下图展示了向量加法的几何解释，A和B向量的和是平行四边形OACB的对角线OC，我们称这种现象为几何向量的加法遵守平行四边形法则。

向量的加法满足交换律和结合律。

A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

纯量乘法

纯量乘法是一个实数去乘向量，结果是一个新的向量。例如实数c与向量A相乘，将c与A的所有分量相乘所得的向量，该向量称为cA或Ac。

若正实数与向量相乘，结果向量与该向量的方向相同，若负实数与向量相乘，结果向量与该向量的方向相反。

下图展示了纯量乘法的几何解释，使用实数c乘以一个向量A，cA为向量A的c倍，若c为负数，cA与向量A的方向相反。

绘图代码【matlab】

%定义向量A
A = [1,2]
%向量A乘以实数1.5
cA = A*1.5
cB = A*(-1.5)
%绘制向量
hold on
quiver(2,2,cA(1),cA(2),'color','r')
quiver(2,2,cB(1),cB(2),'color','b')
quiver(2,2,A(1),A(2),'color','m')
  
%绘制向量起点
scatter(2,2)
% 绘制标注
text(A(1)+2,A(2)+2,"A(1,-2)",'color','m')
text(cA(1)+2,cA(2)+2,"cA=A*1.5",'color','m')
text(cB(1)+2,cB(2)+2,"cA=A*(-1.5)",'color','m')
  
% 设置坐标轴范围
xlim([-2,6])
ylim([-2,6])
  
纯量乘法满足结合律和分配率。
c(dA)=(cd)A
(c+d)A=cA+dA

分量全为零的向量称为零向量，记为O。、

数据库

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