Background
完全基于MPC的ML预测和训练一直是关注的热点，之前的SecureML、ABY3等论文一直在尝试这个难题。FALCON使用和ABY3同样的三方计算下的Replicated Secret Sharing方案来提升系统的计算和传输性能。和之前的方案不同的是，FALCON中完全使用算术秘密分享，但是使用了两个不同的环来处理线性计算（大环，）和非线性计算（小环，）。首先，作者总结了现存方案，并和FALCON做了比较。
进一步，作者分别提出了针对各层的3PC下的计算协议。
基本原语
Multiplication：加法和数乘方法比较简单。针对线性层的乘法，包括矩阵乘法和卷积，则使用和ABY3相同的乘法和截断方法。乘法本身需要一次交互，截断则需要预处理生成的关联随机数。
Reconstruction：秘密恢复则需要每一方向下一方发送对方缺失的秘密分享。
Select Shares : 给定(,, )，如果则返回，否则返回。本文首先生成关联随机数和。然后公开。如果，令；否则，令。最后，计算。
XOR with a public bit: 对于一比特在环内的秘密分享和一个公开的比特值，要求，可以计算。因为是公开的，该计算不需要交互。
Evaluating ：给定和，计算即可。
Private Compare
本文的比较方案和其他方案，例如ABY3等不同。在本文构建的Private Compare中，做比较之前，三方参与者已经得到了秘密分享值得比特分解，而且每一比特的分解是在上的。本文的目标则是比较，其中是一个公开的数。鉴于的比特分解已知，是公开数，比较则可以和SecureNN中类似按比特比较。算法如下：
其中，起到盲化作用，step 1-5中setp 2计算乘法需要一次交互，其余为本地计算；step 6需要次交互。当时，即说明中有一项为0。假设，，那么；对于，恒成立；如此。而对于
Wrap Function
在中，定义如下
对于三个数，有
进一步，定义
为了计算，参与方首先生成随机数，并生成的每一比特在中的算术分享，并生成d的比特分享。进一步，对于秘密值，有：
有，
上式 则得到。需要注意的是(3)式包含三个式子。算法如下
在已知关联随机数的情况下，只需要Step4 交互计算（调用Private Compare）。
ReLU
对于，关键在于计算最高有效位。本文的一个重要发现对于，有
其中，是三个的低位对于最高位的进位。即
如此，
得到之后，计算杰克得到激活函数结果。协议如下：
Maxpool
池化层在协议层面和SecureNN一样，不同的是比较部分的计算调用本文构造的方案。
Division & BatchNorm
本文除法利用近似计算。本文首先计算除数的指数，即计算中的。算法如下：
Step4中，表示，则需要将当前指数加入最终结果。
得到之后，进行如下计算
在该近似算法中，除数需要满足。本文采用的方法在于提取之后，将近似用的常数和都扩大从而使得。最后结果截断乘法造成的scaling factor膨胀。
BatchNorm的算法如下：
除了计算均值和方差，剩下的部分和做除法类似，都是采用了近似算法。
实验效果
本文实验颇多，在此列举一下部分实验结果。
预测开销
训练开销
总结
本文在三方下基于算术电路提出了一种训练和预测的框架，在线计算的效率提升了很多。但是，关于预计算的关联随机数生成还是没有给出新的高效方案，只能用已有方案来做。
作者简介：
董业， 本科毕业于山东大学计算机科学与技术专业，目前在中国科学院信息工程研究所攻读博士学位。 主要研究兴趣包括隐私保护、安全多方计算、同态加密和机器学习。知乎：酸菜鱼
往期内容：
论文笔记：IJCAI 2021 Decentralized Federated Graph Neural Networks
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