1. 抽象向量空间

1.1 向量和函数

函数和向量其实分享相同的性质：

• 适用于加和运算

  

• 适用于数乘运算

  

1.2 函数的线性运算

我们已知向量的线性变换，需要变换后的向量依然满足下列两条性质：

• 可加性：
• 成比例:（一阶齐次）：

那么怎样的函数变换可以被称为线性运算呢？

有一个常见的例子就是求导，因为求导具有可加性和成比例性：

• 求导的可加性：

  

• 求导的成比例性：

  

因此，求导过程和线性变换之间应该是可以类比的。

1.3 用矩阵描述求导过程

首先，我们把求导对象限制在多项式空间中，但并不限制多项式的最高次数。这意味着，这个多项式空间有无穷维。

由于多项式的表达形式已经是线性组合形式，所以我们直接取的不同次幂作为基函数（basis function）。在这里，基函数与空间中的基向量的作用是一样的。

由于多项式是每个基函数乘以它的系数，所以可以被写成向量的形式，其每个基向量的标量就是每个基函数的系数。并且其形式通常表现为一串有限长的自然数后面跟着无限个0。

而求导过程，可以被描述为一个矩阵，其对角是从(0,1)开始的升序自然数列。

因此求任一多项式的导数，就可以描述为上述向量与上述矩阵的乘积。

1.4 向量空间

不仅仅是求导。其他函数计算过程只要是满足线性条件，都可以使用线性代数中的概念，只是名称可能会发生一些改变，例如

并且不仅限于函数，只要我们处理的对象集具有合理的数乘和相加概念，线性代数中向量的相应概念都应该能运用到这个对象上。而这些类似向量的对象，其构成的集合被称为向量空间。

但如何判断这个向量空间是否满足使用线性代数结论的条件呢？方法是看这个向量空间是否满足以下8条公理（axioms）。而向量的具体形式其实并不重要。

现代快刷系列笔记部分到此结束，以后有用到的其他相关知识再补充。

重申， 以上笔记均来自3b1b的课程视频：线性代数的本质https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=1

以下为全文字笔记链接：