数学模式

Latex使用一种特有的模式来排版数学（mathematics）公式。数学公式允许嵌入到文本段中，称为行内公式（inline），使用 $...$
标记。也可以将公式独立成为一个段落，称为行间公式（display），使用$$...$$
标记。

下面我们写一个公式：

\begin{equation}
  \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx = \frac{\pi^4}{15}
\end{equation}

下面我们总结常用公式与符号↓

数学公式

我们总结一下数学中常用的公式。

空格

在数学公式中，我们需要用空格来保证公式中符号之间的间距。Latex能够自动处理大多数的空格，但有时候还是需要自己来控制。

\quad
表示空格，密度为。写法 \alpha \quad\beta
： 。

\qquad
表示两个\quad
，密度为。写法 \alpha \qquad\beta
：。

大空格的密度是。写法 \alpha\ \beta
：。

中等空格的密度是。写法 \alpha\;\beta
：。

小空格的密度是。写法 \alpha\,\beta
：。

紧凑的密度是。写法 \alpha\!\beta
：。

上标 & 下标

上标使用 ^
符号标注，写法 e^3
：。如果指数超过一位或是一个式子，则使用 {}
包裹，写法 e^{3^x+2x}
：。下标使用 _
符号标注，写法：e_3
：，如果下标也超过一位或是一个式子，也使用 {}
包裹，写法：e_{2x-2^y}
：。

两者都存在时写法 x_1^2
：。

分数

分数符号使用 \frac{}{}
表示。也可以使用 分子 \over 分母
命令来实现。

正常书写 \frac{x+2}{3y-5} = a
：。

小型分数 \tfrac{x+2}{3y-5} = a
：。

嵌套的大型分式 \cfrac{x+2}{c + \cfrac{x}{d + \cfrac{2}{b}}} = a
：。

上述的大型分数可以使用紧缩记法：

\frac{x+2}{c+}
\frac{x}{d+}
\frac{2}{b} = a

效果：

不嵌套的大型分式 \dfrac{2}{x} = 0.5 \qquad \dfrac{x+2}{c + \dfrac{x}{d + \dfrac{2}{b}}} = a
：。

平方根

使用 \sqrt
代表开方符号，有两种写法：

• 开平方根语法 \sqrt{}
  :
• 开任意次方根语法 \sqrt[]{}
  ：

花括号 {}
代表要开方的数，方括号 []
为要填入要开的方。

求和 & 平均值

使用 \sum
： 表示求和。例子：$\sum_{i=1}^{n}a_i$
：

平均值：$\bar{x}=\sum X/n$
，效果：。

水平线

在 Latex 中，命令 \overline
和 \underline
表达式的上下方画出水平线

删除线

在公式内使用 \require{cancel}
来显示片段删除线。
声明片段删除线后，使用 \cancel{...}
、\bcancel{...}
、\xcancel{...}
和 \cancelto{...}
来实现各种片段删除线的效果。

\require{case}\begin{array}{rl}
\verb|y+\cancel{x}| & y+\cancel{x} \\
\verb|\cancel{y+x}| & \cancel{y+x} \\
\verb|y+\bcabcel{x}| & y+\bcancel{x} \\
\verb|y+\xcancel{x}| & y+\xcancel{x} \\
\verb|y+\cancelto{0}{x}| & y+\cancelto{0}{x} \\
\verb+\frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15+& \frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15 \\
\end{array}

效果：

乘积

使用 \prod
： 表示乘积。例子：

\prod_{i=1}^n x_i
：

对数

对数有三种表示形式：

• \log_{}{}
  表现形式。写法：$x=\log_{2}{N}$
  ，效果。读作数x叫做以2为底N的对数
  。
• \lg_{}
  表现形式。写法：$x=\lg{N}$
  ，写可写作：$x=\log_{10}{N}$
  ，效果：。读作数x叫做以10为底N的对数
  。
• \ln_{}
  表现形式。写法：$x=\ln{N}$
  ，效果：。读作数x叫做以无理数(e=2.71828...)为底N的自然对数
  。

向量

在 Latex 中，我们可以使用命令 \vec
获取向量表示。此外，令两个命令 \overleftarrow
和 \overrightarrow
在定义从 到 的向量时非常有用

向量符号 \vec{x}
：。
多符号矢量符号 \overrightarrow{xy}
：。和 \overleftarrow{xy}
：。

三角函数

三角形符号的语法 \Delta
：。
表示角的语法  \angle A
：。读作角A
正弦的语法 \sin \theta
：。
余弦的语法 \cos \theta
：。
正切的语法 \tan \theta
：。
余切的语法 \cot \theta
：。
正割的语法 \csc \theta
：。
余割的语法 \sec \theta
：。
角度的语法为 $\sin 30^\circ$
：。

极限

使用 \lim
表示极限符号，而将极限的下标放在极限符号的正下方则使用 \limits
命令。最终实现的极限公式：\lim\limits_{x \to 0}x_n
:。

微积分公式

积分符号 \int
：。例子：
\int_{-N}^{N} e^x\,{d}x
：。
\begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, {d}x\end{matrix}
：
双重积分符号 \iint
：。例子：
\iint_{D}^{W} \, {d}x\, {d}y
：。
三重积分符号 \iiint
：。例子：\iiint_{E}^{V} \, dx\, dy\, dz
：。
四重积分符号 \iiiint
：。例子：\iiiint_{F}^{U} \, dx\, dy\, dz\, dt
：。
闭合的曲线，曲面积分符号 \oint
：。例子：\oint_{C} x^3\,dx + 4y^2\,dy
：。

求微分 \mathrm{d}x
：。
求偏微分 \partial x
，效果：。
求一阶微分 \dot x
：。
求二阶微分 \ddot y
：。

f^\prime
表示导数。效果：。

条件定义

条件表达式使用 \begin{cases}...\end{cases}
来创建一组条件表达式。而使用 \text{...}
来添加注释文字。

f(n) =
\begin{cases}
\frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}

效果：

若是想要条件在左侧显示，则使用如下方式：

\left.
\begin{array}{1}
\text{if $n$ is even:} & \frac{n}{2} \\
\text{if $n$ is odd:} & 3n+1
\end{array}
\right\}
=f(n)

效果：

适配行高

在上述情况中，条件定义中分数行的行高为非标准高度，此时使用 \[2ex] 语句代替该行末尾的 \\
来进行高度适配。

f(n) =
\begin{cases}
\frac{n}{2},  & \text{if $n$ is even} \\[2ex]
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}

效果：

多行等式

一列整齐的多行等式在计算的时候使用的比较多，使用 \begin{aligned}...\end{aligned}
。

\begin{aligned}
f(x) &= (m-n)^2 \\
& = m^2 - 2mn + n^2 \\
\end{aligned}

效果：

当两个方程时，也可以使其对齐。

\begin{alignat}{2}
f(x) &= (m-n)^2 \\
f(x,y) &= (-m+n)^2 \\
& = m^2 - 2mn + n^2 \\
\end{alignat}

效果：

也可以实现左对齐

$$
\begin{array}{lcl}
f(x) & = & (m-n)^2 \\
f(x,y) & = & (-m+n)^2 \\
& = & m^2 - 2mn + n^2 \\
\end{array}
$$

效果：

实现右对齐

$$
\begin{array}{lcr}
f(x) & = & (m-n)^2 \\
f(x,y) & = & (-m+n)^2 \\
& = & m^2 - 2mn + n^2 \\
\end{array}
$$

效果：

方程组

方程组使用 cases
环境实现

\begin{cases}
3x + 5y + z \\
7x - 2y + 4z \\
-6x + 3y + 2z
\end{cases}

效果：

矩阵

矩阵的基本用法

以 \begin{matrix}...\end{matrix}
包裹，实现基本的矩阵。写法：

\begin{matrix}
1 & 0 & x \\
1 & 2 & x^2 \\
1 & 3 & x^3 \\
\end{matrix}

效果：

边框矩阵

上面的矩阵不带框，当我们需要将矩阵使用框给包裹起来，就可以使用 pmatrix
、bmatrix
、 Bmatrix
、vmatrix
或 Vmatrix
代替。

小括号

小括号框矩阵使用 pmatrix
代替 matrix
。

\begin{pmatrix}
1 & 0 & x \\
1 & 2 & x^2 \\
1 & 3 & x^3 \\
\end{pmatrix}

效果：

中括号

中括号框矩阵使用 bmatrix
代替 matrix
。

\begin{bmatrix}
1 & 0 & x \\
1 & 2 & x^2 \\
1 & 3 & x^3 \\
\end{bmatrix}

大括号

大括号框矩阵使用 Bmatrix
代替 matrix
。

\begin{Bmatrix}
1 & 0 & x \\
1 & 2 & x^2 \\
1 & 3 & x^3 \\
\end{Bmatrix}

单竖线框矩阵

这里使用 vmatrix
设置的是行列式：

\begin{vmatrix}
1 & 0 & x \\
1 & 2 & x^2 \\
1 & 3 & x^3 \\
\end{vmatrix}

双竖线

\begin{Vmatrix}
1 & 0 & x \\
1 & 2 & x^2 \\
1 & 3 & x^3 \\
\end{Vmatrix}

边框矩阵也可以使用 \left ... \right
加括号的形式。

省略号的矩阵

省略号总共有三种：

• 横向省略 \cdots
  ：。
• 纵向省略 \vdots
  ：。
• 斜向省略 \ddots
  ：。

\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}

效果：

分块矩阵

\begin{pmatrix}
	\begin{matrix}
		1&0\\0&1 \end{matrix} & \text{0}\\
		\text{0} & \begin{matrix} 1&0\\
		0&1
	\end{matrix}
\end{pmatrix}

效果：

行内矩阵

当矩阵显示在一行内，我们需要使用 \bigl(\begin{smallmatrix}...\end{smallmatrix}\bigr)
。写法：

\bigl( \begin{smallmatrix}
a & b \\
c & d
\end{smallmatrix} \bigr)

效果：

我们使用 矩阵...

数组

矩阵可以使用 \begin{array}{}...\end{array}
实现，如果需要矩阵有框，可以使用 \left( ... \right)
表示。()
可以换成 []
或者 {}
。写法：

$$
\left \{
	\begin{array}{cc|c}
		1 & 0 & x \\
		1 & 2 & x^2 \\
		1 & 3 & x^3 \\
	\end{array}
\right\}
$$

我们由上的写法得出：

• 列由 &
  分隔；行由 \\
  分隔。
• 列样式有n(列数)个表示列对齐方式的字母组成，在字母中间加入竖线可以实现分割线。字母的意义：
• l
  —— 该列左对齐排列
• c
  ——该列居中排列
• r
  ——该列右对齐排列

效果如下：

\begin{array}...\end{array}
也可以表示表格。写法：

$$
\begin{array}{|c|lcr|}
	\hline
	n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\
	\hline
	1 & 0.24 & 1 & 125 \\
	2 & -1 & 189 & -8 \\
	3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
	\hline
\end{array}
$$

在这里，\hline
表示水平线，|
表示竖线。

效果：

方程组

使用 \begin{array}...\end{array}
和 \left{...\right.
来创建方程组

$$
\left\{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$

效果：

交换图表

使用一行 $\require{AMScd}$
语句来允许交换图表的显示。

声明交换图表后，语法语矩阵相似，在开头使用 \begin{CD}
，在结尾使用 \end{CD}
，在中间插入图表元素，每个元素之间插入 &
，并在每行结尾处使用 \\
。

例子：

$$
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
    A @>a>> B\\
    @V b V V\# @VV c V\\
    C @>>d> D
\end{CD}
$$

效果如下：

其中，@>>>
代表右箭头、@<<<
代表左箭头、@VVV
代表下箭头、@AAA
代表上箭头、@=
代表水平实线、@|
代表竖直双实线、@.
代表没有箭头。

在 @>>>
的 >>>
之间任意插入文字即代表该箭头的注释文字。

例子：

$$
\begin{CD}
    A @>>> B @>{\text{very long label}}>> C \\
    @. @AAA @| \\
    D @= E @<<< F
\end{CD}
$$

效果如下：

在本例中，"very long label" 自动延长了它所在箭头以及对应箭头的长度。

数学符号

当我们书写数学公式的时候，我们就需要一些符号来表达数学的一些思想。下面列举一些常用的符号。

关系符号

关系符号是表示数与数、式与式之间的某种关系的特定记号。

所有的二元关系符都可以加 \not
前缀得到相反意义的关系符，例如 \not=
就得到不等号 （同 \ne
）。冒号 :
与 \反斜杠都是关系符号

运算符号

集合符号

箭头

定界符

短括号写法 (\frac{a}{b})
：。
长括号写法 \left(\frac{a}{b} \right)
：。
你可以使用 \left
和 \right
来显示不同的括号。

小括号(圆括号，括弧) (
： 与 )
：。
中括号(方括号) [ or \lbrack
： 与 ] or \rbrack
：。
大括号(花括号) \{ or \lbrace
： 与 \} or \rbrace
：。
角括号(尖括号) \langle
： 与 \rangle
：。
单竖线 | or \vert
：；双竖线 \| or \Vert
：。
取顶符号(上取整函数符号) \lceil
： 与 \rceil
：
高斯符号(下取整函数符号) \lfloor
： 与 \rfloor
：
斜杠 /
：；反斜线转义符 \backslash
：。

单括号的两种写法：

• 左单括号写法 \left \{ \frac{a}{b} \right.
  ：。
• 右单括号写法 \left. \frac{a}{b} \right \}
  ：。

上括号写法 \overbrace{}^{}
：。

下括号写法 \underbrace{}_{}
：。

可以使用 \big
，\Big
，\bigg
，\Bigg
控制括号的大小
写法 ：\Bigg ( \bigg [ \Big \{ \big \langle \left | \| \frac{a}{b} \| \right | \big \rangle \Big \} \bigg ] \Bigg )

。

省略号

代表省略号有以下：

• \dots
  ：
• \cdots
  ：
• \vdots
  ：
• \ddots
  ：

其它符号

重音符号

在数学公式的排版中，我们有可能需要使用重音符号

字母。

24个希腊字母表是书写数学表达式不可缺少的符号，区分大小写。

部分字母有变量专用形式，以 \var-
开头。

AMS二元否定关系符和箭头

AMS其它符号