前言
《Advancing mathematics by guiding human intuition with AI》
前段时间，DeepMind团队与几位数学家一起，将人工智能应用在了数学的两个分支领域——拓扑学和表示论，并为数学家发现猜想和定理提供了一种新的辅助工具，能够有效辅助数学研究。该项工作发表在Nature期刊上，论文名称为《Advancing mathematics by guiding human intuition with AI》。由于该论文基于基础数学的研究，为了帮助读者更好地理解，笔者将简要梳理下所涉及的数学知识，对此感兴趣的读者可在阅读完此文之后继续阅读相关参考文献。
拓扑学
论文中涉及到拓扑学中的纽结理论（knot theory），纽结理论本质上就是研究“绳结”的理论。假设我们手中有一条绳子，不考虑绳子的粗细、长短、软硬、曲直等因素，只在意绳结的结构，也就是绳子是如何穿插的。现在打好一个结后，为了避免结构发生变化，我们将绳子的两头系在一起，这样就形成了一个纽结，这个结叫做“三叶结”。
在纽结理论中，一个纽结只要不被剪断，或是把纽结上不同的点粘连在一起，那么对纽结做任意拉伸、扭转、弯曲等变换，得到的都是同一个纽结。比如下图中的三个纽结，虽然看起来不同，实际上是同一个纽结。
那我们如何知道两个纽结是不是一样的呢？对于简单的纽结，读者可以拿两根线试一试，如下图，左边的a图是一个圆，在纽结理论中这是最简单的纽结，叫做“平凡结”，右边的b图是三叶结。可以发现，在不借助剪刀和胶水的情况下，无论怎么扭转三叶结，始终无法变成平凡结，所以平凡结和三叶结是两个不同的纽结。
不过对于复杂的纽结，只依靠动手尝试无法判断它们是不是同一个纽结，这就是纽结理论研究的最基本的问题——给定两个纽结，怎么判定它们是不是同一个纽结？换句话说，如何对纽结进行分类。
同一个纽结，形状可以千变万化，解决问题的关键就是寻找千变万化中的对象的某些“不变量”。就像是一个人从小到大，体型发生变化、外貌发生变化、声音发生变化，但是指纹、视网膜是不会发生变化的，这些属性就是不变量，通过不变量可以从茫茫人海中识别出一个特定的人。对于纽结来说，最先能想到的应该就是交叉点的数量了，整理一个纽结，使其交叉点数达到最少，那么这个交叉点数就是一个不变量。如下图，平凡结的交叉点数是0，三叶结的交叉点数是3。不过可惜的是，交叉点数不是一个很好的不变量，因为没有一个很好的方法能够判断一个纽结的交叉点数是否最少，并且，不同的纽结可以有相同的交叉点数，可以看到当交叉点数为5时有2个不同的纽结，交叉点数为6时有3个不同的纽结，交叉点数为7时有7个不同的纽结。
一个好的纽结不变量是1984年新西兰数学家沃恩·琼斯发现的“琼斯多项式”，琼斯也因此在1990年获得了数学界的最高荣誉之一：菲尔兹奖。琼斯多项式的具体推导方式不在这里扩展了，感兴趣的读者可以阅读参考文献[1]。当然了，还有许多其他的不变量，论文中涉及的另一个不变量是“符号差（signature）”，这些都属于代数不变量，也就是用代数的方法来研究几何问题。除了用代数的方法，同样还有许多其他不同的推导方法，论文关注的另一个方法是双曲不变量（也叫几何不变量），包括经度、纬度、体积等等，体现的是纽结的几何特征。代数不变量和双曲不变量是两种完全不同的表征纽结的方法，论文的成果之一就是通过神经网络，找出了代数不变量中的符号差与双曲不变量之间的关系。
表示论
数学中有个很重要的思想——化简，即把庞杂的知识分解成简单的知识点，把不熟悉的东西用熟悉的东西去解释、描述。这也正是表示论（representation theory）的思想核心，表示论是将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，以此来研究结构性质的理论。表示论中比较系统的一块是群表示论（group representation theory），简单来说，群（group）是按照某种规律相互联系着的一组元素的集合，群表示论是用矩阵来展示群的结构，进而描述群的理论。
本篇论文的主要对象是对称群（symmetric groups），可以从排列的思想中产生对称群[2]。假设有5个元素，将元素2、3进行对换，那么排列可以表示成以下形式：
第一行表示元素的编号，第二行表示排列后映射到的元素：将元素2映射到元素3，将元素3映射到元素2，将元素1、4、5映射到自身。这种表示不够简洁，因此有另一种表示方法：
以
为例，将元素1映射到元素3、元素3映射到元素5、元素5映射到元素1表示为(1, 3, 5)，将元素2映射到元素4、元素4映射到元素2表示为(2, 4)，那么整体就表示为(1, 3, 5)(2, 4)，如果是
可以表示成(1, 3, 5)(2)(4)，因为第2、4个元素没有进行任何变化，因此可以省略不写，于是结果表示为(1, 3, 5)。排列与群的概念非常吻合，排列满足群的所有的性质和定义，因此排列也是群的一种，n个对象所有的排列构成对称群Sn，其中的每一种排列都是对称群Sn的一个群元素。对于对称群中任意两个群元素之间的转换（反射），例如下图S4中的[1234, 4321]，可以用Bruhat区间图（一种序结构的图）来表示。
用人工智能指引数学直觉
拓扑学
论文中首先对纽结理论的不变量进行研究。数学家们挑选了12个双曲不变量作为候选不变量，创建了一个包含270万个纽结的数据集，标记了符号差和这12个双曲不变量。利用这些数据集，训练了一个3层全连接的神经网络，其任务是从双曲不变量中预测符号差。他们观察到，训练后的神经网络预测符号差的准确率为78%，这表明，符号差与双曲不变量之间确实存在着某种关系。通过归因技术，在保持准确率的同时将输入减少到三个双曲不变量：longitudinal translation、meridional translation的实部、meridional translation的虚部，如下图所示。
考虑到这三个量的相关性和特殊性，数学家们决定将它们组合成一个新的、有几何意义的量，即“自然斜率（natural slope）”，定义为slope(K)=Re(λ/μ)，其中µ是meridional translation，λ是longitudinal translation，Re为实部，符号差用σ(K)表示。结果表明，存在一个近似的线性关系：符号差大约是自然斜率的一半。在自然斜率为符号差的唯一预测特征的情况下，准确率仍为78%，也就是说自然斜率继承了12个双曲特征的所有预测能力，于是他们提出了一个关于自然斜率和符号差的初步的猜想：
猜想：存在常数c1和c2，使得对于每个双曲纽结K，有
其中vol(K)是双曲纽结K的体积，是12个双曲不变量之一。
数学家们意识到，对于一些特定的纽结，可能存在初步猜想的反例。他们生成了一个包含大约36,000个纽结的数据集，从中确实发现了一些反例。之后对初步猜想进行修正，提出了以下定理，并在参考文献[3]中进行了完整证明：
定理：存在一个常数c使得对于任何双曲纽结K，有
其中inj(K)是注入半径（injectivity radius），也是12个双曲不变量之一，可以是一个很小的实数。
上述定理找到了纽结的代数和几何结构之间的新的联系，这个发现在低维拓扑中能够有许多其他的应用。不可思议的是，在这之前，在纽结理论这种被广泛研究的领域中，这样一个简单而重要的联系却被忽视了。
表示论
与纽结理论一样，表示论的成果也是对一个数学对象的两种不同表示的连接。这一部分的研究对象是对称群，这是代数结构中非常重要的一个范畴。一个对称群的两个群元素之间的关系可以用两种不同的方式来表征：Bruhat区间图和Kazhdan-Lusztig(KL)多项式。由上文可知，当n=4时，S4的群元素有4！=24个，当n=5时，S5的群元素有5！=120个，Sn的群元素数量是成阶乘增长的。也就是说，随着n的增加，Bruhat区间图会变得相当复杂，当n增加到9时，S9的群元素数量就能达到9！=362,880个，相比较来说，KL多项式的表达就要简单得多（最高项仅为四次幂）。下图是S5和S6的两个群元素对的未标记的Bruhat区间图（一个有向图）和KL多项式的示例。
KL多项式中一直存在一个“组合不变性”猜想，它指出，对称群Sn中两个群元素的KL多项式可以由它们未标记的Bruhat区间计算出来。而证明此猜想的难点之一正是Bruhat区间图的庞杂性，研究人员很难对它们的结构产生直观的感觉。
数学家们将此猜想作为初始猜想，创建了一个包含24,000个群元素对的训练集，标记了Bruhat区间图和KL多项式，设计了一个图神经网络，以Bruhat区间图作为输入，以KL多项式的系数作为输出。结果如下图所示，图神经网络能够以相当高的准确度从Bruhat区间预测KL多项式系数，四个系数的准确率在63%到98%之间。同时可以观察到，选择一些特定的图形和特征路径，明显有助于提高预测的准确性。数学家们发现，受先前工作[4]启发的显著子图就足以计算KL多项式，这一发现得到了更精确的估计函数的支持，四个系数的准确率达到了95.6%到99%之间。
通过分析图神经网络，他们发现了极值反射（extremal reflections，对于Sn来说形式为(0,i)或(i,n−1)）在显著子图（下图中红色部分）中出现的频率比预期的要高，而简单反射（simple reflections，形式为(i, i+ 1)）出现的频率比预期的要低，数学家们说，他们之前根本没有预料到这一点，不清楚为什么极值反射会在显著子图中超预期出现。
考虑到这一观察结果，他们发现一个Bruhat区间图能够自然地分解为两部分——一个由一组极值反射构成的超立方体（hypercube，下图中绿色部分），和一个与Sn-1区间同构的图（下图中蓝色部分）。
由此，数学家们提出了一个重要的定理：
定理：每个Bruhat区间都允许沿其极值反射进行规范的超立方体分解，从中可以直接计算出KL多项式。
也就是说，有一种方法可以对Bruhat区间图进行预处理，称之为“沿着其极值反射的超立方体分解”，一旦你这样做了，就可以用一个简单的公式，直接从超立方体和Sn-1组件中计算出KL多项式，参考文献[5]中给出了这一定理的详细证明过程。
唯一的问题是，沿着极值反射可能会有许多不同的超立方体分解，然而参考文献[5]中所证明的只是其中一种有效，并没有给出找到正确答案的方法。不过，进一步的测试验证了，对于直到对称群S7的所有大约3×106个区间，和从对称群S8、S9中采样的超过1.3×105个非同构区间，所有超立方体分解都能正确地确定KL多项式。因此，数学家们提出了一个进一步的猜想：
猜想：可以使用前面的公式和任何超立方体分解来计算未标记的Bruhat区间的KL多项式。
如果这个猜想被证实，那就能解决存在40年之久的组合不变性猜想，这是一个很好的研究方向，该猜想不仅在相当大的示例中得到了验证了，而且还拥有一个特别好的形式。
结语
本篇论文从基础数学领域来说，成果令人感到惊艳。在经过充分研究的数学领域中，一些基础性的联系会因为规模过大而无法被观察到，而人工智能可以帮助数学家更好地理解这些联系。本篇论文的创新之处不在于提出什么新方法，而在于为数学工作者提供了一种新的“人机交互”模式，重新划分了“人”与“机”在科研工作中的职责边界，能够更加有效地辅助数学研究。
[参考文献]
[1] 姜伯驹. 绳圈的数学[J]. 1991.
[2] 【群论入门】(10)：排列与对称群. [Online]. Available: https://zhuanlan.zhihu.com/p/402197369.
[3] Davies, A., Lackenby, M., Juhasz, A. & Tomašev, N. The signature and cusp geometry of hyperbolic knots. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/2111.15323.
[4] Braden, T. & MacPherson, R. From moment graphs to intersection cohomology. Math. Ann. 321, 533–551 (2001).
[5] Blundell, C., Buesing, L., Davies, A., Veličković, P. & Williamson, G. Towards combinatorial invariance for Kazhdan-Lusztig polynomials. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/2111.15161.
人工智能评测服务
SSTL主要测评内容
上海市计算机软件评测重点实验室（简称SSTL）由上海市科委批准成立于1997年，是全国最早开展信息系统质量与安全测评的第三方专业机构之一，隶属于上海计算机软件技术开发中心。
觉得内容还不错的话，给我点个“在看”呗
我知道你在看哟
