初中数学几何 300 题

初中数学几何 300 题（史上最全）

强化训练

1.三角形................................................................................................. 2

2.全等三角形......................................................................................... 4

3.直角三角形、勾股定理、面积 ......................................................... 7

4.角平分线、垂直平分线................................................................... 11

5.平行四边形....................................................................................... 14

6.矩形、菱形....................................................................................... 17

7.正方形............................................................................................... 20

8.梯形................................................................................................... 24

9.三角形、梯形的中位线................................................................... 28

10.锐角三角函数................................................................................. 31

11.解直角三角形................................................................................. 34

12.三角函数的综合运用................................................................... 37

13.比例线段......................................................................................... 42

14.相似三角形（一）......................................................................... 46

15.相似三角形（二）......................................................................... 49

16.相似形的综合运用（二）............................................................. 53

17.圆的有关概念和性质..................................................................... 56

18.垂径定理......................................................................................... 59

19.切线的判定与性质......................................................................... 64

20.与圆有关的角................................................................................. 68

21.圆中成比例的线段......................................................................... 73

23.圆与圆（二）................................................................................. 77

24.正多边形和圆................................................................................. 81

1.三角形

知识考点：

理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理

解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：

【例 1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a  b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（

）

A、3a  L  3b

B、2(a + b)  L  2a

C、2a6 + b  L  2b + a

D、3a −b  L  a + 2b

分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B

变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线 AD＝7，则 AB边的取值范围是（

）

A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19

评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，

这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例 2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝45，∠ACB＝61，延长 BC至 E，使 CE＝AC，延长 CB至 D，使 DB＝

0 0

AB，求∠DAE的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠

∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。

D＋

A

略解：∵AB＝DB，AC＝CE

∴∠D＝ 1

2∠ABC，∠E＝ 1

∠ACB

2

D

B

C

E

∴∠D＋∠E＝ 1

例 2图

2（∠ABC＋∠ACB）＝530

∴∠DAE＝180－（∠D＋∠E）＝127

0 0

探索与创新：

【问题一】如图，已知点 A在直线l外，点 B、C在直线l上。

（1）点 P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A；

（2）试判断在△ABC外，又和点 A在直线l的同侧，是否存在一点 Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论。

A

A

m

n

•

l

l

B

C

B

C

问题一图

分析与结论：

（1）连结 AP，易证明∠P＞∠A；

（2）存在，怎样的角与∠A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦 BC所

对且顶点在弧 Am B，和弧 An C上的圆周角都与∠A相等，因此点 Q应在弓形 Am B和 An C内，利用圆的有关性

质易证明（证明略）。

【问题二】如图，已知 P是等边△ABC的 BC边上任意一点，过 P点分别作 AB、AC的垂线 PE、PD，垂足为 E、

D。问：△AED的周长与四边形 EBCD的周长之间的关系？

分析与结论：

（1）DE是△AED与四边形 EBCD的公共边，只须证明 AD＋AE＝BE＋BC＋CD

（2）既有等边三角形的条件，就有 60的角可以利用；又有垂线，可造成含 30角的直角三角形，故本题可借

0 0

助特殊三角形的边角关系来证明。

略解：在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60

又∵PE⊥AB于 E，PD⊥AC于 D

0

A

∴∠BPE＝∠CPD＝30

0

不妨设等边△ABC的边长为 1，BE＝ x，CD＝ y，那么：BP＝2x，PC

1，而 AE＝1− x，AD＝1− y

＝

E

D

C

2y， x + y = 2

B

P

问题二图

∴AE＋AD＝2 − (x + y) = 32

又∵BE＋CD＋BC＝(x + y) +1= 3

2

∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD

从而 AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE

即△AED的周长等于四边形 EBCD的周长。

评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。

跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形的三边为 1，1− a，9，则a的取值范围是

。

2、已知三角形两边的长分别为 1和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为

3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝

4、如果△ABC的一个外角等于 150，且∠B＝∠C，则∠A＝

5、如果△ABC中，∠ACB＝90，CD是 AB边上的高，则与∠A相等的角是

6、如图，在△ABC中，∠A＝80，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点 D，那么∠BDC＝

7、如图，CE平分∠ACB，且 CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为 28 cm，则 DB＝

8、纸片△ABC中，∠A＝65，∠B＝75，将纸片的一角折叠，使点 C落在△ABC内（如图），若∠1＝20，则∠2

0

。

度。

0

。

0

。

0

。

。

0

0

的度数为

。

9、在△ABC中，∠A＝50

0

，高 BE、CF交于点 O，则∠BOC＝

。

10、若△ABC的三边分别为a、b、c，要使整式(a −b + c)(a −b − c)m  0，则整数m应为

。

A

C

A

1

C

B

C

D

E

2

F

E

A

B

B

D

第 6题图

第 7题图

第 8题图

二、选择题：

1、若△ABC的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（

A、6个 B、7个 C、8个 D、9个

2、在△ABC中，AB＝AC，D在 AC上，且 BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（

A、30 B、36 C、45 D、72

3、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15和 12两部分，则此三角形底边之长为（

）

）

0

0

0

0

）

A、7

B、11

，AB＞AC，则∠A的取值范围是（

B、0＜∠A＜80

D、80

C、7或 11

D、不能确定

4、在△ABC中，∠B＝50

0

）

A、0

0

＜∠A＜180

0

0

0

C、50

0

＜∠A＜130

0

0 0

＜∠A＜130

5、若、 、是三角形的三个内角，而 x = + ， y =  +， z =  +，那么 x、 y、 z中，锐角的个数

的错误判断是（

）

A、可能没有锐角

B、可能有一个锐角

D、最多一个锐角

C、可能有两个锐角

6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2倍，且等于它不相邻内角的 4倍，那么这个三角形一定是（

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形

）

三、解答题：

1、有 5根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？

2、长为 2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为

什么？

3、如图，在△ABC中，∠A＝96，延长 BC到 D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于 A1，∠ A1 BC与∠ A1 CD的

0

平分线相交于 A2，依此类推，∠ A4 BC与∠ A4 CD的平分线相交于 A5，则∠ A5的大小是多少？

4、如图，已知 OA＝a，P是射线 ON上一动点（即 P可在射线 ON上运动），∠AON＝60

0

，填空：

（1）当 OP＝

时，△AOP为等边三角形；

时，△AOP为直角三角形；

时，△AOP为锐角三角形；

时，△AOP为钝角三角形。

（2）当 OP＝

（3）当 OP满足

（4）当 OP满足

A

A

A1

a

A2

60

0

B

C

D

O

P

N

第 3题图

第 4题图

一、填空题：

1、− 9  a  −7；2、2；3、120

8、60；9、130；10、偶数。

；4、30或 120；5、∠DCB；6、50；7、8cm；

0 0 0 0

0

0

二、选择题：CBCBCB

三、解答题：

1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）

2、可以，设延伸部分为a，则长为 2 + a，3+ a，5+ a的三条线段中，5+ a最长，

∵(2 + a) + (3+ a) − (5+ a) = a  0

∴只要a  0，长为2 + a，3+ a，5+ a的三条线段可以组成三角形

设长为5+ a的线段所对的角为，则为△ABC的最大角

又由(2 + a)2 + (3+ a)2 − (5+ a)2 = a

2 −12

当a 2 −12 = 0，即a = 2 3时，△ABC为直角三角形。

3、3

0

4、（1）a；（2）2a或 a

a

a

2；（3） 2＜OP＜2a；（4）0＜OP＜ 2或 OP＞ 2a

2.全等三角形

知识考点：

掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角

形全等。

精典例题：

【例 1】如图，已知 AB⊥BC，DC⊥BC，E在 BC上，AE＝AD，AB＝BC。求证：CE＝CD。

分析：作 AF⊥CD的延长线（证明略）

评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加

辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已

知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。

A

F

A

A

3 4

1 2

D

E

1

2

C

B

D

B

E

例 1图

C

B

P

问题一图

C

E

例 2图

【例 2】如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。

分析：采用截长补短法，延长 AC至 E，使 AE＝AB，连结 DE；也可在 AB上截取 AE＝AC，再证明 EB＝CD（证

明略）。

探索与创新：

【问题一】阅读下题：如图，P是△ABC中 BC边上一点，E是 AP上的一点，若 EB＝EC，∠1＝∠2，求证：AP

⊥BC。

证明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2

∴△ABE≌△ACE（第一步）

∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步）

∴AP⊥BC（等腰三角形三线合一）

上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你

认为正确的证明过程。

略解：不正确，错在第一步。

正确证法为：

∵BE＝CE

∴∠EBC＝∠ECB

又∵∠1＝∠2

∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴∠3＝∠4

又∵AB＝AC

∴AP⊥BC

评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，

证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。

【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，

使这两个三角形全等吗？

请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。

解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三

角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三

角形全等。

评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：

若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，

这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让

命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60

0

，∠FGE－∠E＝56 度。

0

，则∠A＝

2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90

3、如图，在△ABC中，∠C＝90

0

，AB＝DC，那么图中有全等三角形

对。

0

，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交 BC于 D，且 DC∶DB＝3∶5，则点 D到 AB的

距离是

。

A

A

D

C

A

E

F

E

H

C

D

B

B

D

C

B

第 2题图

第 3题图

第 4题图

4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE交于点 H，请你添加一个适当的条件：

使△AEH≌△CEB。

，

5、如图，把一张矩形纸片 ABCD沿 BD对折，使 C点落在 E处，BE与 AD相交于点 O，写出一组相等的线段

（不包括 AB＝CD和 AD＝BC）。

6、如图，∠E＝∠F＝90，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD

0

＝DN。其中正确的结论是

（填序号）。

二、选择题：

1、如图，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是（

）

A、△ADF≌△AEG

C、△BMF≌△CNG

B、△ABE≌△ACD

D、△ADC≌△ABE

E

D

A

E

E

C

A

F

G

D

M

O

D

M

1

A

2

N

B

B

C

B

C

F

填空第 5题图

填空第 6题图

选择第 1题图

2、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与 BF交于点 O，∠A＝60，∠B＝25，则∠EOB的度数为（

A、60 B、70 C、75 D、85

3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（

0

0

）

0

0

0

0

）

A、相等

B、不相等

C、互余

D、互补或相等

B

E

A

P

A

O

F

C

B

C

D

选择第 2题图

选择第 4题图

4、如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是 AD上异于 A的任意一点，设 PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC

＝b，则(m + n)与(b + c)的大小关系是（

）

A、m + n＞b + c

C、m + n＝b + c

三、解答题：

B、m + n＜b + c

D、无法确定

1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证：△ABE和△BDC是等腰三角形。

D

A

4

2

E

B

E

C

3

1

C

F

D

A

B

解答题第 1题图

解答题第 2题图

2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点 F是 CD的中点。

（1）求证：AF⊥CD；

（2）在你连结 BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。

3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝100

（2）上问中，若将条件改为 AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝70

4、如图，已知∠MON的边 OM上有两点 A、B，边 ON上有两点 C、D，且 AB＝CD，P为∠MON的平分线上

0

，求证：△ABC≌△DEF；

0

，结论是否还成立，为什么？

一点。问：

（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。

（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。

C

M

B

F

B

A

A

E

P

O

C

D

N

D

解答题第 4题图

解答题第 5题图

5、如图，已知 CE⊥AB，DF⊥AB，点 E、F分别为垂足，且 AC∥BD。

（1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。

（2）若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。

参考答案

一、填空题：

1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或 EA＝EC或 EH＝EB等；

5、DC＝DE或 BC＝BE或 OA＝OE等；6、①②③

二、选择题：BBDA

三、解答题：

1、略；

2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分 BE等；

3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；

4、（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有 AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定

全等。（2）面积相等，因为 OP为∠MON平分线上一点，故 P到边 AB、CD上的距离相等，即△ABP中 AB边上的

高与△PCD中 CD边上的高相等，又根据 AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。

5、（1）△ACE和△BDF的对应角相等；（2）略

3.直角三角形、勾股定理、面积

知识考点：

了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有

关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

精典例题：

【例 1】如图，在四边形 ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，BC＝2，CD＝3，则 AB＝？

0 0

分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

答案： 8

3

3

A

A

D

Q

3

2

B

C

例 1图

E

B

P

例 2图

C

【例 2】如图，P为△ABC边 BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝45

0 0

，∠APC＝60，求∠ACB的度数。

分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件 PC＝2PB及∠APC＝60来构造出含

0

30

0

角的直角三角形。这是解本题的关键。

答案：∠ACB＝75（提示：过 C作 CQ⊥AP于 Q，连结 BQ，则 AQ＝BQ＝CQ）

0

探索与创新：

【问题一】如图，公路 MN和公路 PQ在点 P处交汇，且∠QPN＝30，点 A处有一所中学，AP＝160米，假设

0

汽车行驶时，周围 100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路 MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声

的影响？如果受影响，已知汽车的速度为 18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？

分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距 A点方圆 100米的范围内，利用

图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。

略解：作 AD⊥MN于 D，在 Rt△ADP中，易知 AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以 A为圆心，100

米为半径作圆交 MN于 E、F，连结 AE、AF，则 AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，

从而学校受噪声影响的时间为：

120

1

t =

=

（小时）＝24（秒）

18000

150

评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

C

A

y

N

F

D

E

P

A

Q

B

M

x

问题一图

问图题二12 图

【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏

力．如图 12，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向 220千米的 B处有一台风中心，其中心最大风力为 12级，

每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15千米／时的速度沿北偏东 30方向往 C移动，

0

且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

解：（1）如图 1，由点 A作 AD⊥BC，垂足为 D。

∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。

由题意知，当 A点距台风中心不超过 160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。

（2）由题意知，当 A点距台风中心不超过 160千米时，将会受到台风的影响。则 AE＝AF＝160。当台风中心

从

E

处移到

F

处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：

DE = AE − AD = 160 −110 = 27050 = 30 15。∴EF＝60 15（千米）。

2 2 2 2

∵该台风中心以 15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为 60 15

= 4 15（小时）。

15

110

（3）当台风中心位于 D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 12－ 20＝6.5（级）。

评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意

义，由题意可分析出，当 A点距台风中心不超过 160千米时，会受台风影响，若过 A作 AD⊥BC于 D，设 E，F分

别表示 A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则 AE＝AF＝160；当台风中心位于 D处时，A市受台风影

响的风力最大。

跟踪训练：

一、填空题：

1、如果直角三角形的边长分别是 6、8、 x，则 x的取值范围是

。

2、如图，D为△ABC的边 BC上的一点，已知 AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则 BC＝

。

D

A

A

A

13

12

5

B

C

B

D

C

D

B

C

第 2题图

第 3题图

第 5题图

3、如图，四边形 ABCD中，已知 AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90 。

4、等腰△ABC中，一腰上的高为 3cm，这条高与底边的夹角为 30，则SABC

，∠B＝2∠C，D点在 BC上，AD平分∠BAC，若 AB＝1，则 BD的长为

，AB边上的中线长为 2，且 AC＋BC＝6，则SABC

0

，则∠DAB＝

0

＝

。

5、如图，△ABC中，∠BAC＝90

0

。

6、已知 Rt△ABC中，∠C＝90

0

＝

。

7、如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，腰长为 8cm，AC、BD相交于 O点，且∠AOD＝60，设 E、F分别为 CO、

0

AB的中点，则 EF＝

。

A

D

B

A

P

A

C

E

O

D

F

E

Q

D

C

B

C

B

第 7题图

第 8题图

第 9题图

8、如图，点 D、E是等边△ABC的 BC、AC上的点，且 CD＝AE，AD、BE相交于 P点，BQ⊥AD。已知 PE＝1，PQ

＝3，则 AD＝

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正

方形 A、B、C、D的面积的和是

。

。

二、选择题：

1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于 R，PS⊥AC于 S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③

△BRP≌△QSP中（

A、全部正确

）

B、仅①和②正确

C、仅①正确

D、仅①和③正确

2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的 2倍，并且有一个角是 30

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

3、在四边形 ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（

0

，那么这个三角形的形状是（

）

）

A、大于 90

0

B、小于 90

0

C、等于 90

0

D、不能确定

A

A

Q

R

S

O

B

C

B

P

C

第 4题图

，AB＝3，BC＝ 3，OA＝OC＝ 6，则∠OAB的度数为（

C、20 D、25

第 1题图

4、如图，已知△ABC中，∠B＝90

A、10 B、15

0

）

0

0

0

0

三、解答题：

1、阅读下面的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a

4

，试判断△ABC的形状。

2

c

2

−b c = a

2 2 4

−b

解：∵a

∴c

2

c

2

−b

−b2) = (a

= c

2

c

2

= a

4

− b

4

……①

2

(a

2

2

+ b

)(a −b2)

2 2

……②

∴a

2

+ b

2

2

……③

∴△ABC是直角三角形。

问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号

；

（2）错误的原因是

；

（3）本题的正确结论是

。

2、已知△ABC中，∠BAC＝75，∠C＝60

，BC＝3+ 3，求 AB、AC的长。

0 0

3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于 G。

（1）求证：G是 CE的中点；

（2）∠B＝2∠BCE。

A

C

E

G

A

B

B

D

C

第 3题图

第 4题图

4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝90，BC＝60米，∠A＝36。

0 0

（1）若入口 E在边 AB上，且与 A、B等距离，请你在图中画出入口 E到 C点的最短路线，并求最短路线 CE

的长（保留整数）；

（2）若线段 CD是一条水渠，并且 D点在边 AB上，已知水渠造价为 50元／米，水渠路线应如何设计才能使

造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。

参考数据：sin36

＝0.5878，sin54＝0.8090

0 0

5、已知△ABC的两边 AB、AC的长是方程 x

2

− (2k + 3)x + k

2

+ 3k + 2 = 0的两个实数根，第三边 BC＝5。

（1）k为何值时，△ABC是以 BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

参考答案

一、填空题：

1、10或2 7；2、16.9；3、135；4、3 3 cm；5、 3 −1；6、5；7、4

0 2

8、7；9、49

二、选择题：BDCB

三、解答题：

1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形

2、提示：过 A作 AD⊥BC于 D，则 AB＝3 2，AC＝2 3

3、提示：连结 ED

4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与 AB垂直，造价 2427元。

5、（1）2；（2）k＝4或 3，当k＝4时，面积为 12。

4.角平分线、垂直平分线

知识考点：

了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：

【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30，AB的垂直平分线 EF交 AB于点 E，交 BC于点 F，求证：

0

CF＝2BF。

分析一：要证明 CF＝2BF，由于 BF与 CF没有直接联系，联想题设中 EF是中垂线，根据其性质可连结 AF，则

BF＝AF。问题转化为证 CF＝2AF，又∠B＝∠C＝30，这就等价于要证∠CAF＝90，则根据含 30角的直角三角形的

0 0 0

性质可得 CF＝2AF＝2BF。

分析二：要证明 CF＝2BF，联想∠B＝30

0

，EF是 AB的中垂线，可过点 A作 AG∥EF交 FC于 G后，得到含 30

0

角的 Rt△ABG，且 EF是 Rt△ABG的中位线，因此 BG＝2BF＝2AG，再设法证明 AG＝GC，即有 BF＝FG＝GC。

A

A

E

E

B

F

C

B

F

G

C

例题图 1

例题图 2

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 AD⊥BC于 D，则 BD＝CD，考虑到∠B＝30

EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。

0

，不妨设

以上三种分析的证明略。

E

A

A

1 2

E

3

B

D

C

B

F

例题图 3

D

C

问题图

探索与创新：

【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：

三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，

△ABC中，AD是角平分线。求证： BD

=

AB。

AC

DC

分析：要证 BD

DC

=

AB，一般只要证 BD、DC与 AB、AC或 BD、AB与 DC、AC所在三角形相似，现在 B、D、

AC

C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 BD

=

AB中，AC

AC

DC

恰好是 BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过 C作 CE∥AD交 BA的延长线于 E，从而得到 BD、CD、AB的第四比

例项 AE，这样，证明 BD

=

AB就可以转化为证 AE＝AC。

DC

AC

证明：过 C作 CE∥AD交 BA的延长线于 E

1= 2 

CE∥AD 2 = 3 ∠E＝∠3 AE＝AC









1= E



CE∥AD BD

=

AB

AE

DC

∴ BD =

DC

AB

AC

（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；

（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（

）

①数形结合思想

②转化思想

③分类讨论思想

答案：②转化思想

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，

BC＝7 cm，求 BD的长。

35

答案：

9 cm

评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，∠A＝52

0

，O是 AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝

。

2、如图，已知 AB＝AC，∠A＝44

0

，AB的垂直平分线 MN交 AC于点 D，则∠DBC＝

。

B

A

A

A

E

D

M

D

D

E

C

O

N

A

C

B

C

B

C

B

第 1题图

第 3题图

第 4题图

第 2题图

3、如图，在△ABC中，∠C＝90

0

，∠B＝15

0

，AB的中垂线 DE交 BC于 D点，E为垂足，若 BD＝8，则 AC＝

。

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是 AB的垂直平分线，△BCE的周长为 24，BC＝10，则 AB＝

5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是 G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交

点是 P，F、C在 AN上，B、E在 AM上，若∠G＝68，那么∠P＝

。

0

。

N

A

C

C

G

F

D

P

D

E

F

1

2

3 4

B

A

B

E

M

B

C

A

填空第 5题图

选择第 1题图

选择第 2题图

二、选择题：

1、如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于点 F，且∠A＝60

A、80 B、100 C、120

2、如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝36

A、82 B、72 C、62

0

，则∠BFC等于（

）

0

0

0

D、140

0

0

，则∠C的度数为（

）

0

0

0

D、52

0

3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为 2∶3两部分，若这个三

角形的周长为 30cm，则此三角形三边长分别是（

A、8 cm、8 cm、14cm

）

B、12 cm、12 cm、6cm

D、以上答案都不对

C、8 cm、8 cm、14cm或 12 cm、12 cm、6cm

C

4、如图，Rt△ABC中，∠C＝90，CD是 AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平

0

分线，图中相等的锐角为一组，则共有（

）

A、0组

C、3组

B、2组

D、4组

A

E

F D

B

选择第 4题图

5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（

）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

三、解答题：

1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点 M的垂线交于点 D，求证：MA＝MD。

D

A

B

A

M

F

F

B

D

E

C

A

C

B

D

E

C

第 1题图

第 2题图

第 3题图

2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在 BC上，且 DE＝EC，过 D作 DF∥BA交 AE于点 F，DF＝AC，求证：AE平分

∠BAC。

3、如图，在△ABC中，∠B＝22.5，∠C＝60

0 0

，AB的垂直平分线交 BC于点 D，BD＝6 2，AE⊥BC于点 E，

求 EC的长。

4、如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90

于点 F，求证 AB垂直平分 DF。

0

，AC＝BC，D为 BC的中点，CE⊥AD，垂足为 E，BF∥AC交 CE的延长线

C

D

E

B

A

F

第 4题图

参考答案

一、填空题：

1、38；2、24；3、4；4、14；5、68

0 0 0

二、选择题：CBCDB

三、解答题：

1、过 A作 AN⊥BC于 N，证∠D＝∠DAM；

2、延长 FE到 G，使 EG＝EF，连结 CG，证△DEF≌△CEG

3、连结 AD，DF为 AB的垂直平分线，AD＝BD＝6 2，∠B＝∠DAB＝22.5

0

∴∠ADE＝450，AE＝ 2

2 AD＝ 2  6 2＝6

2

又∵∠C＝60

0

∴EC＝ AE =

3

6

= 2 3

3

4、证△ACD≌△CBF

5.平行四边形

知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质

精典例题：

【例 1】已知如图：在四边形 ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点 E、F分别在 BC和 AD边上，AF＝CE，EF和对角

线 BD相交于点 O，求证：点 O是 BD的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明 BO＝DO

略证：连结 BF、DE

在四边形 ABCD中，AB＝CD，AD＝BC

A

F

D

∴四边形 ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AD＝BC

O

又∵AF＝CE

B

E

C

∴FD∥BE，FD＝BE

例 1图

∴四边形 BEDF是平行四边形

∴BO＝DO，即点 O是 BD的中点。

【例 2】已知如图：在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是

的中点，求证：四边形 EFGH是平行四边形。

AB、BC、CD、DA边上

A

H

分析：欲证四边形 EFGH是平行四边形，根据条件需从边上

H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结 AC

明确了，此题也便得证。（证明略）

D

着手分析，由 E、F、G、

后，EF和 GH的关系就

E

G

变式 1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式 2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式 3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式 4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

变式 5：若 AC＝BD，AC⊥BD，则四边形 EFGH是正方形。

B

F

C

例 2图

变式 6：在四边形 ABCD中，若 AB＝CD，E、F、G、H分别为 AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。

D

E

C

A

M

D

G

Q

H

N

B

B

F

C

A

E

P

娈式 6图

娈式 7图

变式 7：如图：在四边形 ABCD中，E为边 AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别

是 AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形 PQMN是菱形。

探索与创新：

【问题】已知如图，在△ABC中，∠C＝90，点 M在 BC上，且 BM＝AC，点 N在 AC上，且 AN＝MC，AM和

0

BN相交于 P，求∠BPM的度数。

分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想

到构造等腰直角三角形，从而应该平移 AN。

略证：过 M作 ME∥AN，且 ME＝AN，连结 NE、BE，则四边形 AMEN是平行四边形，得 NE＝AM，ME∥AN，

AC⊥BC

∴ME⊥BC

A

在△BEM和△AMC中，

ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90

∴△BEM≌△AMC

1

0

，BM＝AC

N

P

3

∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90

∴∠2＋∠4＝90，且 BE＝NE

∴△BEN是等腰直角三角形

0

B

M

C

0

4 2

∴∠BNE＝45

∵AM∥NE

0

E

探索与创新图

∴∠BPM＝∠BNE＝45

0

跟踪训练：

一、填空题：

1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为 5和 7，则它的一条边长a的取值范围是

2、□ ABCD的周长是 30，AC、BD相交于点 O，△OAB的周长比△OBC的周长大 3，则 AB＝

。

。

。

3、已知□ ABCD中，AB＝2AD，对角线 BD⊥AD，则∠BCD的度数是

4、如图：在□ ABCD中，AE⊥BD于 E，∠EAD＝60，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为

。

0

A

E

D

C

B

A

D

1

2

O

O

E

F

B

F

C

A

E

D

B

C

第 4题图

第 5题图

第 6、7题图

5、如图：□ ABCD的对角线 AC、BD相交于 O，EF过点 O，且 EF⊥BC于 F，∠1＝30

0

，∠2＝45

0

，OD＝2 2，

则 AC的长为

。

6、如图：过□ ABCD的顶点 B作高 BE、BF，已知 BF＝ 5

4 BE，BC＝16，∠EBF＝300，则 AB＝

。

7、如图所示，□ ABCD的周长为 30，BE⊥AD于点 E，BF⊥CD于点 F，且 BE∶BF＝2∶3，∠D＝120

0

，则平行

四边形 ABCD的面积为

。

二、选择题：

1、若□ ABCD的周长为 28，△ABC的周长为 17cm，则 AC的长为（

A、11cm B、5.5cm C、4cm

）

D、3cm

2、如图，□ ABCD和□ EAFC的顶点 D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（

）

A、DE＞BF

B、DE＝BF

C、DE＜BF

D、DE＝FE＝BF

D

C

D

E

C

D

E

C

E

F

A

M

B

A

B

A

B

第 2题图

第 3题图

第 4题图

3、如图，已知 M是□ ABCD的 AB边的中点，CM交 BD于 E，则图中阴影部分的面积与□ ABCD的面积之比是（

）

A、 1

B、 1

C、 1

D、 5

6

4

3

12

4、如图，□ ABCD中，BD＝CD，∠C＝70

A、20 B、25

5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（

0

，AE⊥BD于 E，则∠DAE＝（

）

0

0

C、30

0

D、35

0

）

A、以 60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边

B、以 20cm、36cm为对角线，22cm为一条边

C、以 6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边

D、以 6cm、10cm为对角线，8cm为一条边

6、如图，□ ABCD中，E、F分别是 AD、BC边上的中点，直线 CE交 BA的延长线于 G点，直线 DF交 AB的延长线

于 H点，CG、DH交于点 O，若□ ABCD的面积为 4，则SOGH

＝（

）

A、3.5

B、4

C、4.5

D、5

A

D

D

E

C

F

B

C

B

O

G

A

H

E

第 6题图

第 7题图

7、在□ ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线 AC折叠，点 D落在△ABC所在平面内的点 E

处，如果 AE过 BC的中点 O，则□ ABCD的面积等于（

）

A、48

B、10 6

C、12 7

D、24 2

三、解答题：

1、如图，在□ ABCD中，AE⊥BC于 E，AF⊥DC于 F，∠ADC＝60

0

，BE＝2，CF＝1，连结 DE交 AF于点 P，求

EP的长。

A

D

A

H

D

G

A

E

D

F

E

P

F

B

C

B

C

C

F

B

E

第 2题图

第 4题图

第 1题图

AE

FC

BF

＝ GC

＝

AH＝k（k＞

DG HD

2、在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且 BE

＝

0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：

如上图，连结 BD

AE＝ AH，

FC

BF

＝ GC

DG

∵

BE

HD

∴EH∥BD，FG∥BD

①连结 AC，则 EF与 GH是否一定平行，答：

；

②当k值为

时，四边形 EFGH是平行四边形；

③在②的情形下，对角线 AC和 BD只需满足

④在②的情形下，对角线 AC和 BD只需满足

条件时，EFGH为矩形；

条件时，EFGH为菱形；

3、已知，在四边形 ABCD中，从①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中

取出两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。

4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90，D、F分别为 AC、AB的中点，点 E在 BC的延长线上，∠CDE＝∠A。

0

（1）求证：四边形 DECF是平行四边形；

（2）若sin A = 53，四边形 EBFD的周长为 22，求 DE的长。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、1＜a＜6；2、9；3、60；4、12；5、8；6、 64

5或 12.8；7、27 3；

0

二、选择题：DBCABCC

三、解答题：

1、提示：由∠B＝∠ADC＝60

0

，BE＝2，AE⊥BC可得 AB＝4，再证 DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝

4＝DC，又∠BCD＝120，∴∠EDC＝30，求得∠APE＝∠EAP＝60

0 0 0

，△AEP为等边三角形，EP＝AE＝2 3。

2、①是；②任意正数；③BD⊥AC；④AC＝BD

3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③

4、（1）证 EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5

6.矩形、菱形

知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。

精典例题：

【例 1】如图，已知矩形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，

求∠EAC的度数。

分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。

解略，答案 45。

0

F

A

D

A

D

C

D

O

E

E

B

C

A

B

E

B

M

C

例 1图

【例 2】如图，已知菱形 ABCD的边长为 3，延长 AB到点 E，使 BE＝2AB，连结 EC并延长交 AD的延长线于点

F，求 AF的长。

例 2图

例 3图

分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。

解略，答案 AF＝4.5。

【例 3】如图，在矩形 ABCD中，M是 BC上的一动点，DE⊥AM，垂足为 E，3AB＝2BC，并且 AB、BC的长是

方程 x

2

− (k − 2)x + 2k = 0的两根。

（1）求k的值；

（2）当点 M离开点 B多少时，△ADE的面积是△DEM面积的 3倍？请说明理由。

分析：用韦达定理建立线段 AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出k。

略解：（1）由韦达定理可得 AB＋BC＝k − 2，AB·BC＝2k，又由 BC＝ 3

2 AB可消去 AB，得出一个关于k的一

1

，因 AB＋BC＝k − 2＞0，∴k＞2，故k2＝ 1

元二次方程3k

2

− 37

k +12 0

=，解得k1＝12，k2＝ 3

应舍去。

3

（2）当k＝12时，AB＋BC＝10，AB·BC＝2k＝24，由于 AB＜BC，所以 AB＝4，BC＝6，由SAED = 3SDEM

3

4

AM。易证△AED∽△MBA得 AE＝

MB

AD，设 AE＝3a，AM＝4a，则 MB＝2a

可得 AE＝3EM＝

2

，而 AB＋BM

2 2

AM

＝AM2，故 4 + 4a = 16a

，解得a＝2，MB＝ 2a 。

2 4 2 2 2

＝4。即当 MB＝4时，SAED = 3SDEM

评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活

变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。

探索与创新：

【问题一】如图，四边形 ABCD中，AB＝ 6，BC＝5− 3，CD＝6，且∠ABC＝135

AD的长吗？

，∠BCD＝120，你知道

0 0

分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。

略解：作 AE⊥CB的延长线于 E，DF⊥BC的延长线于 F，再作 AG⊥DF于 G

∵∠ABC＝135

0

，∴∠ABE＝45

0

E

B

C

F

∴△ABE是等腰直角三角形

又∵AB＝ 6，∴AE＝BE＝ 3

∵∠BCD＝120

0

，∴∠FCD＝60

0

G

A

∴△DCF是含 30

0

的直角三角形

D

问题一图

∵CD＝6，CF＝3，DF＝3 3

E

∴EF＝ 3 + (5− 3) + 3＝8

由作图知四边形 AGFE是矩形

A

B

D

C

∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝ 3

从而 DG＝DF－FG＝2 3

问题二图

在△ADG中，∠AGD＝90

0

∴AD＝ AG ＝ 64 +12＝ 76＝ 2 19

2

+ DG

2

【问题二】把矩形 ABCD沿 BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形 ABDE是什么图形，并证明你的猜想。

分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若矩形的对称中心到两边的距离差为 4，周长为 56，则这个矩形的面积为

。

2、已知菱形的锐角是 60

0

，边长是 20cm，则较短的对角线长是

cm。

3、如图，矩形 ABCD中，O是对角线的交点，若 AE⊥BD于 E，且 OE∶OD＝1∶2，AE＝ 3 cm，则 DE＝

4、如图，P是矩形 ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则 PB＝

cm。

。

5、如图，在菱形 ABCD中，∠B＝∠EAF＝60

0

，∠BAE＝20

0

，则∠CEF＝

。

A

A

D

A

D

C

3

4

B

D

P

5

?

O

E

F

E

B

C

C

第 5题图

B

第 4题图

第 3题图

二、选择题：

6、在矩形 ABCD的各边 AB、BC、CD、DA上分别取点 E、F、G、H，使 EFGH为矩形，则这样的矩形（

）

A、仅能作一个

B、可以作四个

C、一般情况下不可作

D、可以作无穷多个

7、如图，在矩形 ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在 AD边上以每秒 1 cm的速度从 A向 D运动，点 Q在 BC

边上，以每秒 4 cm的速度从 C点出发，在 CB间往返运动，二点同时出发，待 P点到达 D点为止，在这段时间

内，线段 PQ有（

A、1

）次平行于 AB。

B、2

C、3

D、4

A

E

D

A

B

•

D

P

B

F

C

Q

•

C

G

第 7题图

第 8题图

8、如图，已知矩形纸片 ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点 D与点 B重合，那么折叠后 DE的长和折

痕 EF的长分别是（

A、4cm、 10 cm

）

B、5cm、 10 cm

D、5cm、2 3 cm

C、4cm、2 3 cm

9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且

对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的 4倍。其中正确的命题有（

A、①② B、③④ C、③ D、①②③④

10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（

）

）

A、矩形

B、菱形

C、正方形

D、等腰梯形

三、解答题：

11、如图，在矩形 ABCD中，F是 BC边上一点，AF的延长线交 DC的延长线于点 G，DE⊥AG于 E，且 DE＝DC，

根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

E

A

A

B

D

F

D

D

G

F

A

E

C

F

B

E

C

B

C

G

第 11题图

第 12题图

第 13题图

12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是 AB边上的高，∠BAC的平分线 AE交 CD于 F，EG⊥AB于 G，求证：

0

四边形 GECF是菱形。

13、如图，以△ABC的三边为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下

列问题（不要求证明）：

（1）四边形 ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以 A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、180；2、20cm；3、3；4、3 2；5、20

0

提示：4题过点 P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结 AC，证△ABE≌△ACF得 AE＝AF，从而

△AEF是等边三角形。

二、DDBBA

三、解答题：

11、可证△DEA≌△ABF

12、略证：AE平分∠BAC，且 EG⊥AB，EC⊥AC，故 EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因

EG⊥AB，CD⊥AB，故 EG∥CF。四边形 GECF是平行四边形，又因 EG＝FG，故 GECF是菱形。

13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝150；（3）当∠BAC＝60时，以 A、D、E、F为顶点的四边形不存在。

0 0

7.正方形

知识考点：

理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。

精典例题：

【例 1】如图，E、F分别是正方形 ABCD的边 AB、BC上的点，且 EF∥AC，在 DA的延长线上取一点 G，使 AG

＝AD，EG与 DF相交于点 H。求证：AH＝AD。

分析：因为 A是 DG的中点，故在△DGH中，若 AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH

为直角三角形（证明略）。

评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使

本题证明简单。

G

A

D

A

D

Q

E

H

B

F

C

E

B

P

C

例 1图

例 2图

【例 2】如图，在正方形 ABCD中，P、Q分别是 BC、CD上的点，若∠PAQ＝45，求证：PB＋DQ＝PQ。

0

分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。

变式：若条件改为 PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你还能得到哪些结论？

探索与创新：

【问题一】如图，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，E是 AC上一点，过 A作 AG⊥EB于 G，AG

交 BD于点 F，则 OE＝OF，对上述命题，若点 E在 AC的延长线上，AG⊥EB，交 EB的延长线于点 G，AG的延长线

交 DB的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明

理由。

A

D

A

B

D

O

O

G

F

C

E

F

B

G

E

C

问题一图 1

问题一图 2

分析：对于图 1通过全等三角形证明 OE＝OF，这种证法是否能应用到图 2的情境中去，从而作出正确的判断。

结论：（2）的结论“OE＝OF”仍然成立。

提示：只须证明△AOF≌△BOE即可。

评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。

【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为 1的正方形 ABCD上，并使它的直角顶点 P在对角线 AC上滑行，

直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC相交于点 Q。

探究：设 A、P两点间的距离为 x。

（1）当点 Q在边 CD上时，线段 PQ与线段 PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；

（2）当点 Q在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y与 x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当点 P在线段 AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰

三角形的点 Q的位置，并求出相应的 x值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

A

D

A

D

A

D

B

C

B

C

B

C

分析：（1）实验猜测：PQ＝PB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。

略解：（1）如图 1，易证 BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝180

∴PB＝PD＝PQ

0

－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ

A

D

A

D

A

D

x P

P

2

P

N

M

Q

Q

1

C

Q

B

B

C

B

C

问题二图 1

问题二图 2

问题二图 3

（2）如图 2，易证△BOP≌△PEQ

∴QE＝PO＝AO－AP＝ 2

2 − x

∴S四边形PBCQ = SPBC + SPCQ = 1 PC(BO + QE) = 1 PC(PE + EC)

2

2

= 12 PC

= 12 ( 2 − x)

2

2

∴ y = 1 x

−

2）

2

2x +1（0≤ x＜ 2

2

（3）△PCQ可能成为等腰三角形。

①当点 P与点 A重合时，点 Q与点 D重合，这时 PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时 x＝0；

②当点 Q在边 DC的延长线上，且 CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图 3）。此时，QN＝PM＝ 2

2 x，

2 CP＝1− 22 x，所以 CQ＝QN－CN＝ 2x −1，当 2 − x = 2x −1时，解得 x =1。

CN＝ 2

评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。

跟踪训练：

一、填空题：

1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的

矩形是正方形。其中真命题是

（填序号）。

2、如图，将正方形 ABCD的 BC边延长到 E，使 CE＝AC，AE与 CD边相交于 F点，那么 CE∶FC＝

。

D

D

B

C

E

A

C

A

C

F

B

A

D

B

第 2题图

第 3题图

3、如图，把正方形 ABCD沿着对角线 AC的方向移动到正方形 ABCD的位置，它们的重叠部分的面积是正方形

ABCD面积的一半，若 AC＝ 2，则正方形移动的距离 AA是

。

4、四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；

③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判断它是正方形的题设条件是

（把正确

的序号填在横线上）。

二、选择题：

1、如图，把正方形 ABCD的对角线 AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长和为 p，

正方形 ABCD的周长为S，则 S与 p的关系式是

。

A、S＜ p

B、S＞ p

C、S＝ p

D、S与 p无关

2、如图，在正方形 ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝60

（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正确的是（

0

，则下列关系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③

）

A、①②③

B、仅①

C、仅②和③

D、仅①和③

B

C

D

C

A

D

12

F

3

E

4

A

B

E

A

D

B

C

第 1题图

第 2题图

第 3题图

3、如图，正方形 ABCD的面积为 256，点 F在 AD上，点 E在 AB的延长线上，Rt△CEF的面积为 200，则 BE的值

为（

）

A、10

B、11

C、12

D、15

4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为(a + b)的正方形的是（

）

a

a

b

b

b

a

数量（张）

卡片

（1）

（2）

（3）

方案

A

B

C

D

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

三、解答题：

1、如图，在正方形 ABCD中，E是 AD的中点，BD与 CE交于 F点，求证：AF⊥BE。

2、已知正方形 ABCD中，M是 AB的中点，E是 AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于 N。

（1）求证：MD＝MN；

（2）若将上述条件中的“M是 AB的中点”改为“M是 AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”

还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

D

C

D

C

A

E

D

N

F

N

E

A

M

B

B

A

M

B

E

C

第 1题图

第 2题图 1

第 2题图 2

3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引 PE⊥BC于 E，PF⊥DC于 F。求证：（1）AP＝EF；（2）AP

⊥EF。

D

C

A

D

A

B

F

P

F

B

E

C

E

第 4题图

第 3题图

4、如图，过正方形 ABCD的顶点 B作 BE∥CA，作 AE＝AC，又 CF∥AE，求证：∠BCF＝ 12∠AEB。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、③；2、 2 +1；3、 2 −1；4、②

二、选择题：CDCA

三、解答题：

1、易证△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB∠AFB＝∠BFC∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△

CDE∠DCE＝∠ABF。所以∠DAF＝∠EAB，故∠EHA＝∠EAB＝90

，AF⊥BE。

2、（1）如图 1，取 AD中点 F，连结 MF，由 MN⊥DM得∠DAM＝90，易证∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－

∠2＝45－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝45－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因 DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，

0

0

0

0

故 MD＝MN。

A

D

D

1

C

D

C

1

1

N

N

E

F

P

F

3

H

2

C

2

2

B

A

M

B

A

B

E

M

E

第 3题图

－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝90，∴∠1＝∠2，

0

－∠2，∴∠DMF＝∠MNB，又 DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故 MD＝MN。

第 2题图 1

（2）成立，如图 2，在 AD上取 DF＝MB，则易知：∠1＝90

又∠DMF＝45－∠1，∠MNB＝45

第 2题图 2

0

0

0

3、略证：延长 AP与 EF相交于点 H，连结 PC，因为 BD是对角线，易证 PA＝PC，∠1＝∠2，根据 PE⊥BC于 E，

PF⊥DC于 F，知 PECF为矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因为∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3

＝∠4＋∠1＝90

0

，所以△PHF为直角三角形，故 AP⊥EF。

4、提示：证 AEFC是菱形，过 A点作 BE的垂线构造 30

0

角的直角三角形。

8.梯形

知识考点：

掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。

精典例题：

【例 1】如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，中位线 EF＝7，对角线 AC⊥BD，∠BDC＝30，求梯形的高 AH。

0

分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。

略解：过 A作 AM∥BD交 CD的延长线于 M。

∵AB∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝30

又∵中位线 EF＝7

0

∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14

又∵AC⊥BD，

∴AC⊥AM，AC＝ 12 CM＝7

∵AH⊥CD，∴∠ACD＝60

0

∴AH＝ AC sin 60

0＝ 7

2

3

评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。

B

A

A

E

D

F

E

C

B

G

F

H

C

H

D

M

例 2图

例 1图

【例 2】如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，E、F分别是 AD、BC的中点，∠B＋∠C＝90，AD＝7，BC＝15，求

0

EF的长。

分析：将 AB、CD平移至 E点构成直角三角形即可。

答案：EF＝4

探索与创新：

【问题】已知，在梯形 ABCD中，AD∥BC，点 E在 AB上，点 F在 DC上，且 AD＝a，BC＝b。

（1）如果点 E、F分别为 AB、DC的中点，求证：EF∥BC且 EF＝ a + b；

2

AE = DF =

m

（2）如图 2，如果 EB FC

n，判断 EF和 BC是否平行？请证明你的结论，并用a、b、m、n的代数

式表示 EF。

A

a

D

A

a

D

E

B

F

F

E

B

b

C

b

C

M

问题图 1

问题图 2

分析：（2）根据（1）可猜想 EF∥BC，连结 AF并延长交 BC的延长线于点 M，利用平行线分线段成比例定理证

明即可。

略证：连结 AF并延长交 BC的延长线于点 M

∵AD∥BM， AF = AD =

DF

FC

， AE = DF =

EB FC

m

n

FM CM

∴在△ABM中有 AF

=

AE

EB

FM

∴EF∥BC， AE = EF =

m

AB BM m + n

m

m

∴EF＝ m + n BM＝ m + n (BC + CM )

而 AD = DF =

m

na

n，故CM = mn AD = m

CM FC

m

m

na

)＝ mb + na

∴EF＝ m + n BM＝

m + n (b +

m

m + n

评注：本题是一道探索型试题，其目的是考查学生观察、归纳、抽象、概括、猜想的能力，它要求学生能通过

观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学公式表达出来。

跟踪训练：

一、填空题：

1、梯形的上底长为 3，下底长为 7，梯形的中位线所分成的上下两部分的面积之比为

。

2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，则下底角的度数是

。

3、如图，直角梯形 ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝60

0

，则 AB的长为

。

E

A

D

D

C

A

D

B

C

A

B

B

C

第 6题图

第 3题图

第 4题图

4、如图，梯形 ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝a，CD＝b，那么 AB的长是

。

5、在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，则梯形 ABCD的面积是

6、如图，在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是 BA、CD延长线的交点，∠E＝40

二、选择题：

。

0

，则∠ACD＝

度。

2

1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为 450cm，则对角线所

用的竹条至少需（

）

A、30 2 cm

B、30 cm

C、60 cm

D、60 2 cm

2、如图，直角梯形 ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，下列结论：

①∠BCD＝60

0

；②四边形 EHCF是菱形；③SBEH = 12 SCEH④以 AB为直径的圆与 CD相切于点 F。其中正确的

结论有（

）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

A

D

A

D

D

C

A D

8

F

E

12

0

13

45

0

120

B

H

C

A

B B

C

B

C

第 2题图

第 3题图

第 4题图

第 5题图

3、已知如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，∠B＝45

A、 8

0

，∠C＝120

0

，AB＝8，则 CD的长为（

）

6

B、4 6

C、 8

2

D、4 2

3

3

4、如图，在直角梯形 ABCD中，底 AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且 AD＝12，则 A到 BC的距离为（

A、12 B、13 C、10 D、12×21＋13

5、如图，等腰梯形 ABCD中，对角线 AC＝BC＋AD则∠DBC的度数为（

A、30 B、45 C、60 D、90

）

）

0

0

0

0

三、解答题：

1、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在 AB、DC上各取一点 F、G，使 BF＝CG，E是 AD的中点。求证：

∠EFG＝∠EGF。

2、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于 H，D是底边上任意一点，过 D作 BC的垂线交 AC于 M，交

BA的延长线于 N。求证：DM＋DN＝2AH。

3、如图，等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，延长 BD到 E，使 DE＝DB，作 EF⊥BA的延长线于点 F，

求 AF的长。

N

A

E

A

E

D

M

D

C

G

F

B

C

B

H

D

C

F

A

B

第 1题图

4、如图，等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，对角线 AC、BD相交于点 O，∠ACD＝60

OA、BC的中点。

（1）求证：△PQS是等边三角形；

第 2题图

第 3题图

0

，点 S、P、Q分别是 OD、

（2）若 AB＝8，CD＝6，求SPQS

的值。

（3）若SPQS∶SAOD＝4∶5，求 CD∶AB的值。

D

S

C

y

C

A

O

Q

P

O

B

x

A

B

第 4题图

第 5题图

5、如图，直角坐标系内的梯形 AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于 x的方程 x

− 6mx + m

2 2

+ 4 = 0的

两根，并且 SAOC∶SBOC＝1∶5。

（1）求 AC、OB的长；

（2）当 BC⊥OC时，求 OC的长及 OC所在的直线解析式；

（3）在第（2）问的条件下，线段 OC上是否存在一点 M，过 M点作 x轴的平行线，交 y轴于 F，交 BC于 D，

过 D点作 y轴的平行线交 x轴于 E，使S矩形FOED＝1 S梯形ADBC，若存在，请直接写出 M点的坐标；若不存在，请

2

说明理由。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、2∶3；2、60

；3、5 3；4、a + b；5、6；6、15

0 0

二、选择题：CBAAC

三；解答题：

1、证△AFE≌△DEG；

2、作 AH⊥MN于 N，则 MN＝MH，AH＝MH＋MD易证 NH＋DM＝AH；

3、2

1

DO＋OB＝11，CS＝3 3，BC＝ 112 + 27＝ 2 37，SQ＝ 37，∴SPQS

4、（1）连结 CS、BP；（2）∵SB＝

2

＝ 37 3；

4

2 = SC 2 + BC 2 = ( 2

3 a)

+ (b + 12 a)2＝a

+ b S

+ ab。∴

PQS＝

2 2

（3）设 CD＝a，AB＝b (a  b)， BC

2

3 (a

+ b

3 ab，∵ SPQS∶ SAOD＝ 4∶ 5 ，∴

4

2

2

+ ab)，又 SAOD∶ SCOD＝ b∶ a，则 SAOD

＝

16

5 163 (a

2 + b2 + ab) = 4 4

3 ab。整理得： 5a 2

−11ab + 5b

= 0， a =

11 21

2

，又∵ a  b ，∴

b

10

a =

11− 21。即：

10

b

CD = 11− 21。

AB

10

5、（1）AC＝1，OB＝5；（2）C（1，2）；（3）存在，M1（ 1，1），M（ 3， 3

）

2

2

4

2

9.三角形、梯形的中位线

知识考点：

掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。

精典例题：

【例 1】如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，M是腰 AB的中点，且 AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长 DM与 CB的延长线交于 E

点进行证明。

A

D

C

A

D

M

N

Q

G

F

E

A

P

B

C

B

D

M

C

B

例 1图

例 2图

问题图

【例 2】如图，△ABC的三边长分别为 AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线 AD上一点，且 BP⊥AD，

M为 BC的中点，求 PM的长。

分析：∠A的平分线与 BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长 BP交 AC于点 Q，由△ABP≌△AQP知 AB

＝AQ＝14，又知 M是 BC的中点，所以 PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM＝6

探索与创新：

1

【问题一】 E、F为凸四边形 ABCD的一组对边 AD、BC的中点，若 EF＝ (AB + CD)，问：ABCD为什么四

2

边形？请说明理由。

分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结 AC，取 AC的中点 G，连 EG、FG，则 EG∥ 1 CD，

2

FG∥ 1

AB，∴EG＋FG＝ (AB + CD)，即 EG＋FG＝EF，则 G点在 EF上，EF∥CD，EF∥AB，故 AB∥CD。

1

2

2

（1）若 AD∥BC，则凸四边形 ABCD为平行四边形；

（2）若 AD不平行于 BC，则凸四边形 ABCD为梯形。

1

评注：利用中位线构造出 12 CD、 2 AB，其关键是连 AC，并取其中点 G。

跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形各边长为 5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是

。

2、一个等腰梯形的周长为 100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为 20cm，那么这个梯形的面积是

。

3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为

4、直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，且此腰与底所成的角为 60

。

0

，则这个梯形的面积为

。

5、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，G是 BC上任意一点，如果SGEF = 2 2 cm

，那么梯形

2

ABCD的面积是

。

A

D

A

G

A

N

D

E

F

F

E

E

F

Q

P

B

G

C

B

M

C

D

第 7题图

B

C

第 5题图

第 6题图

6、如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，∠B＝30，∠C＝60，E、F、M、N分别为 AB、CD、BC、DA的中点，已知

0

BC＝7，MN＝3，则 EF＝

7、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为 AE的中点，BE与 DF、DG分别交于 P、Q两点，则 PQ∶BE

0

。

＝

。

A

D

8、如图，直角梯形 ABCD的中位线 EF＝a，垂直于底的腰 AB＝b，

则图中阴影部分的面

积是

。

F

E

9、在梯形 ABCD中，AD∥BC，BD是对角线，EF为中位线，若SABD

∶

SBDC＝ 1∶ 2 ，则

S梯形AEFD∶SEBCF

＝

。

B

C

填空第 8题图

二、选择题：

1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为 8cm，则它的高为（

）

B、 4 2 cm

A、4 cm C、8cm

D、8 2 cm

2、已知等腰梯形 ABCD中，BC∥AD，它的中位线长为 28cm，周长为 104cm，AD比 AB少 6cm，则 AD∶AB∶BC＝

（

）

A、8∶12∶5

B、2∶3∶5

C、8∶12∶20

D、9∶12∶19

3、如图，已知△ABC的周长为 1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成

第三个三角形，依此类推，第 2004个三角形的周长为（

）

1

1

1

1

A、

B、

C、

D、

2

2003

2004

2

2003

2004

A

A

H

T

A

B

D

C

D

M

N

G

E

O

B

C

B

F

C

选择第 3题图

选择第 4题图

解答第 1题图

4、如图，E、F、G、H分别是 BD、BC、AC、AD的中点，又 AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分 EG于

T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG。其中正确的是（

）

A、①和②

B、②和③

C、①②④

D、②③④

三、解答题：

1、如图，在矩形 ABCD中，BC＝8cm，AC与 BD交于 O，M、N分别为 OA、OD的中点。

（1）求证：四边形 BCNM是等腰梯形；

（2）求这个等腰梯形的中位线长。

2、如图，在四边形 ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线 BD、AC的中点，求证：EF＞ 12 (AB −CD)

A

D

D

C

F

E

E

F

B

C

A

B

解答第 2题图

解答第 3题图

3、如图，在等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝60

＝a，求梯形 ABCD的面积。

0

，AC平分∠DAB，E、F是对角线 AC、BD的中点，且 EF

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、13；2、500cm2；3、1∶2；4、 23 ab；5、8 2；6、4；7、1∶4；8、 ab；

1

2

9、5∶7

二、选择题：CDCD

三、解答题：

1、（1）证 MN∥BC且 MN≠BC；（2）6cm。

2、取 BC的中点构造三角形的中位线。

1

3 (y − x) = 3a，

2

3、解：设上底为 x，下底为 y，高为h，由题意知 EF＝ (y − x)，即 y − x = 2a，h =

2

y + x = 2 3h = 2 3 3a = 6a，所以：

梯形 ABCD的面积为： 12  6a 3a = 3 3a

2

10.锐角三角函数

知识考点：

本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用 sina、cosa、tana、

cota准确表示出直角三角形中两边的比（a为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为

余角、同角三角函数间的关系。

精典例题：

【例 1】在 Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，BC＝15。

0

（1）求 AB的长；

（2）求 sinA、cosA的值；

（3）求sin

2 A+ cos 2 A的值；

（4）比较 sinA、cosB的大小。

分析：在 Rt△ABC中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出 sinA、

cosA的大小，从而便可以计算出sin

答案：（1）AB＝13；

2

A+ cos

2

A的大小，即可比较 sinA与 cosB的大小。

（2）sinA＝ 5，cosA＝12；

13

13

（3）sin 2 A+ cos2

A = 1；

（4）sinA＝cosB

变式：（1）在 Rt△ABC中，∠C＝90

，a = 5，b = 2，则 sinA＝

0

。

（2）在 Rt△ABC中，∠A＝90

答案：（1） 3

0

，如果 BC＝10，sinB＝0.6，那么 AC＝

。

5；（2）6

【例 2】计算：sin 60 cot30 + sin 45

0 0 2 0

3  3 + ( 2 )

＝ +

3

1

2＝2

2

解：原式＝

2

2

2

注意：熟记 0

0

、30

0

、45

0

、60

0

、90

0

角的三角函数值，并能熟练进行运算。

【例 3】已知，在 Rt△ABC中，∠C＝90

， tan B =

0

5，那么 cosA（

）

2

5

5

C、 2 5

5

2

A、 2

B、 3

D、 3

分析：由三角函数的定义知： cos A = A的对边，又因为 tan B =

5，所以可设 AC = 5k，

2

斜边

BC = 2k (k  0)，由勾股定理得 AB = 3k，不难求出cos A = 5k =

5

3k

3

答案：B

变式：已知为锐角，且cos = 54，则sin + cot＝

。

略解：可设为 Rt△ABC的一锐角，∠A＝，∠C＝90

∴AC＝4k，AB＝5k，则 BC＝3k

0

∴sin + cot = 3k

+ 4k

= 3 + =

4

29

15

5k 3k

5

3

评注：直角三角形中，只要知道其中任意两边的比，可通过勾股定理求出第三边，然后应用锐角三角函数的定

义求锐角三角函数值。

【例 4】已知 tan + cot = 3，为锐角，则 tan 2 + cot 2＝

分析：由定义可推出 tan cot = 1

。

∴ tan 2 + cot 2 = (tan + cot)2 − 2tan cot = 32 − 2 = 7

评注：由锐角三角函数定义不难推出sin 2 A+ cos2

A = 1， tan cot = 1，它们是中考中常用的“等式”。

探索与创新：

【问题】已知30

0

    90

0，则 (cos − cos)2 − cos − 2

3 + 1− cos＝

。

分析：在 0

～90

范围内，sin、tan是随的增大而增大；cos、cot是随的增大而减小。∴cos 

0

0

－cos＜0，又不难知道 cos30

＝

3，cos00

＝1，∴cos − 2

3＜0，1− cos＞0。

0

2

∴原式＝cos − cos + cos − 23 +1− cos＝ 2 − 3

2

变式：若太阳光线与地面成角，30

3 = 1.7）

＜＜45

）（取

0

0

，一棵树的影子长为 10米，则树高 h的范围是（

A、3＜h＜5

略解：∵30

＜＜45

∴tan30

B、5＜h＜10

C、10＜h＜15

D、h＞15

0

0

＜＜tan 45

而h = 10tan

0

0

∴10tan30  h  10tan 45

0 0

∴5.7＜h＜10

答案：B

跟踪训练：

一、选择题：

1、在 Rt△ABC中，∠C＝900，若 tan A = 43，则 sinA＝（

）

4

3

C、 5

3

A、

B、

D、 5

3

4

3

2、已知 cos＜0.5，那么锐角的取值范围是（

A、60 B、0 C、30

＜＜90 ＜＜60

）

＜＜90

D、0

＜＜30

0 0

0

0

0

0

0

0

3、若 3 tan( +10

0

) = 1，则锐角的度数是（

）

A、20

0

B、30

0

C、40

0

D、50

0

4、在 Rt△ABC中，∠C＝90

A、cosA＝cosB

0

，下列式子不一定成立的是（

）

B、cosA＝sinB

C

A+ B

= cos

C、cotA＝tanB

D、sin 2

2

， tan A = 13，AC＝6，则 BC的长为（

C、4

5、在 Rt△ABC中，∠C＝90

A、6

0

）

B、5

D、2

6、某人沿倾斜角为的斜坡前进 100米，则他上升的最大高度为（

）

100

100

B、100sin 米

C、 cos米

D、100cos米

A、 sin 米

7、计算cos600 + 33 cot30

的值是（

）

0

A、 7

5

6

C、 3

3 + 2

D、

B、

2

2

2

二、填空题：

1、若为锐角，化简 1− 2sin + sin 2＝

2、已知cot  cot35

= 1，则锐角 ＝

。

0

；若 tan＝1（00≤≤900）则cos(90

0

−)＝

。

3、计算sin

4、在 Rt△ABC中，∠C＝90

5、△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则 cosB＝

2

27

0

+ tan 42

0

 tan 48

0

− cos90

0

cot 21 + sin 63

0

2

0

＝

。

0

，若 AC∶AB＝1∶3，则 cotB＝

。

；

。

6、已知，在△ABC中，∠A＝60

0

，∠B＝45

0

，AC＝2，则 AB的长为

。

三、计算与解答题：

1、sin 90 + sin 30 + tan 0 + cos60  tan 45 − cos0 cot90

0 0 0 0 0 0 0

2、△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且 tan B −

3 + (2sin A− 3)2 = 0，试确定△ABC的形状。

，求 a + 2b +

b

a −b b − a

3、已知a = sin 60

0

，b = cos45

0

的值。

四、探索题：

CD

1、△ABC中，∠ACB＝900，CD是 AB边上的高，则 CB

等于（

）

A、cotA

B、tanA

C、cosA

D、sinA

2、如图，两条宽度都是 1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是

（

）

1

1



A、 sin

C、sin

B、 cos

D、1

3、已知 sin + cos = m， sin cos = n，则 m与 n的关

系是（

）

A、 m = n B、 m = 2n +1

2

C、 m = 2n +1

D、m

2

= 1− 2n

4、在 Rt△ABC中，∠C＝90

0

，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a

2

− ab −b

2

= 0，则 tanA等于（

）

B、1+ 5

C、1− 5

D、1 5

A、1

2

2

2

跟踪训练参考答案

一、选择题：DAAAD，BC

二、填空题：

2

，

2

1；6、1+ 3

1、1－sin；2、55

；3、2；4、2 2；5、 3

0

三、计算与解答题：

1、2；2、等边三角形；3、5+ 2 6

四、探索题：CACB

11.解直角三角形

知识考点：

本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。

精典例题：

【例 1】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝ 52，D为 AC上一点，∠BDC＝45，DC＝6，求 AB的长。

0

分析：由∠C＝90

0

，∠BDC＝45

0

，可知 DC＝BC＝6，再由 sinA＝ BC＝ 2即可求出 AB的长。

AB

5

解：在 Rt△ABC中，∠C＝90

0

，∠BDC＝45

0

B

∴∠BDC＝∠DBC＝45

∴DC＝BC＝6

0

在 Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝ BC

＝

2

5

0

AB

∴AB＝ 65＝15

A

D

例 1图

C

2

变式：如图，在△ABC中，∠B＝90

0

，C是 BD上一点，DC＝10，∠ADB＝45

0 0

，∠ACB＝60，求 AB的长。

分析：设 AB＝ x，通过解 Rt△ABC和解 Rt△ABD即可。

解：设 AB＝ x

∵∠B＝90，∠ACB＝60

0 0

∴BC＝ xcot60

0

3 x

＝

3

A

又∵BD＝BC＋DC

∴ x = 3 x +10

3

D

C

B

例 1变式图

∴ x = 15 + 5 3

答案：AB的长为15+ 5 3

评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为 x，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。

【例 2】如图，在△ABC中，∠A＝30，E为 AC上一点，且 AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于 F，连结 FC，则 cot∠CFB

0

＝（

）

A、 1

3

B、 1

2

3

C、

4

3

3

D、 1

4

3

6

分析：因为∠CFB不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠CFB是它的一个锐角，由 EF

⊥AB联想到作 EF的平行线 CD，得到 Rt△CDB即可求解。

解：过 C作 CD∥EF交 AB于点 D

B

∴ AF

=

AE = 3

FD

EC

D

F

∴ DF = ECAE  AF = 1 AF

3

由 EF = AE

= 43可得CD = AC  EF = EF

4

A

E

例 2图

C

CD AC

AE

3

设 EF＝ x，由 EF⊥AF可知△AEF是 Rt△，且∠A＝30

0

∴ AE = 2x， AF = 3x

∴CD = x， DF = 1 x，CD∥EF，EF⊥AB

4

3

3

∴CD⊥AB，△CFD是直角三角形

1

3x

在 Rt△CFD中，cotCFB = DF = 3

=

4

3

CD

4

3

x

答案：D

2

【例 3】已知等腰梯形 ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝ 5

3，AC与 BD相交于点 O，∠BOC＝120

0

，试

求 AB的长。

分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得

以解决。

解：如图，作 DE∥AC交 BC的延长线于 E，则四边形 ACED是平行四边形。

∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB

∴AC＝DB，BD＝DE

A

D

∴△DBE为等腰三角形

BE＝BC＋AD＝18cm

O

分别过 A、D作 AG⊥BC于 G，DF⊥BC于 F

∵∠BDE＝∠BOC＝120

0

，∴∠BDF＝60

0

B

G

F

C

E

∴BF＝ 1

例 3图

2 BE＝9cm，AG＝DF＝3 3 cm

AG

在 Rt△ABG中，sin∠ABG＝ AB

AG

3 3 = 15

2（cm）

5

∴AB＝ sin ABG = 2

3

15

答：AB的长是 2 cm。

评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，

可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中，

应通过作辅助线等方法构造直角三角形，从而把这些元素转化到直角三角形中解决。

探索与创新：

【问题】如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝a，AC＝b。证明：SABC = 1 absinC

2

证明：过 A作 AD⊥BC于 D，则△ADC是直角三角形

AD

AC

A

∴sin C =

∴ AD = AC sinC = bsinC

又∵SABC = 1 BC  AD

2

B

D

C

∴SABC = 1 absinC

问题图

2

评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理还可推出：

SABC = 1 absinC = 1 bcsin A = 1 acsin B（三角形面积公式）

2

跟踪训练：

2

2

一、填空题：

1、如图，在△ABC中，∠C＝90

0

，∠ABC＝60

0

，D是 AC的中点，那么 tan∠DBC的值是

。

2、在△ABC中，∠B＝30

0

，tanC＝2，AB＝2，则 BC的长是

。

A

3、在△ABC中，∠C＝90

0

，AB＝2，BC＝ 3，则 tan 2＝

。

4、已知正方形 ABCD的两条对角线相交于 O，P是 OA上一点，且∠CPD＝60

0

，则 PO∶AO＝

。

B

A

B

D

C

C

D

A

第 1题图

第 5题图

5、如图，在△ABC中，∠B＝60

0

，∠BAC＝75

0

，BC边上的高 AD＝3，则 BC＝

。

6、等腰三角形的周长为2 + 3，腰长为 1，则底角等于

。

二、选择题：

1、在△ABC中，∠C＝90

0

，AC＝BC＝1，则 tanA的值是（

）

2

D、 1

2

A、 2

B、 2 C、1

2、在 Rt△ABC中，CD是斜边 AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是 2

，则

AC

的值是（

AB

）

3

2

3

5

2

D、 3

A、 5

B、 5

C、 2

3、如图，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根 O的距离为 2米，梯子的顶端 B到地面的距离为 7米。现将梯

子的底端 A向外移动到 A，使梯子的底端 A到墙根 O的距离等于 3米，同时梯子的顶端 B下降到B，那么BB

（

）

A、等于 1米

B、大于 1米

C、小于 1米

D、不能确定

A

B

C

B

B

B

C

A

A

D

D

A

第 3题图

O

第10题图

第 4题图

解答第 1题图

4、如图，延长 Rt△ABC斜边 AB到 D点，使 BD＝AB，连结 CD，若 cot∠BCD＝3，则 tanA＝（

）

3

2

C、 1

3

2

A、

B、1

D、 3

三、解答题：

1、如图，已知四边形 ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120

0 0 0

，∠BAD＝75，∠D＝60，求 CD的长。

2、如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝900，sin B = 53，D是 BC上一点，DE⊥AB于 E，CD＝DE，AC＋CD＝9。求：

①BC的长；②CE的长。

SAFD

3、如图，已知 BC⊥AD于 C，DF⊥AB于 F， SEFB

= 9，∠BAE＝。

（1）求sin + cos的值；

（2）若SAEB = SADE，AF＝6时，求 cot∠BAD的值。

D

C

C

D

E



A

E

B

A

F

B

解答第 2题图

解答第 3题图

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1

1、 2

3；2、

2 + 3；3、 3

3；4、1∶ 3；5、3+ 3；6、300

二、选择题：CDCA

三、解答题：

1、2 2；

2、BC＝8，CE＝12 5；

5

3、 2 10，

5

4

3

12. 三角函数的综合运用

知识考点：

本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解

直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、

建立解直角三角形的数学模型。

精典例题：

【例 1】如图，塔 AB和楼 CD的水平距离为 80米，从楼顶 C处及楼底 D处测得塔顶 A的仰角分别为 45和 60，

0 0

试求塔高与楼高（精确到 0.01米）。

（参考数据： 2＝1.41421…， 3＝1.73205…）

分析：此题可先通过解 Rt△ABD求出塔高 AB，再利用 CE＝BD＝80米，解 Rt△AEC求出 AE，最后求出 CD＝BE

＝AB－AE。

解：在 Rt△ABD中，BD＝80米，∠BAD＝60

A

0

∴AB＝ BD tan 600 = 80 3  138.56（米）

45

0

C

D

E

在 Rt△AEC中，EC＝BD＝80米，∠ACE＝45

∴AE＝CE＝80米

0

60

0

B

F

∴CD＝BE＝AB－AE＝80 3 − 80  58.56（米）

例 1图

答：塔 AB的高约为 138. 56米，楼 CD的高约为 58. 56米。

【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB的上方 P点处，此时飞机离地面的高度 PO＝450米，且 A、B、O三点

在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 = 30

0

， = 45

0

，求大桥 AB的长（精确到 1米，选用数据： 2＝

1.41， 3＝1.73）

分析：要求 AB，只须求出 OA即可。可通过解 Rt△POA达到目的。

解：在 Rt△PAO中，∠PAO＝ = 30

0

∴OA＝ PO cotPAO = 450cot300 = 450 3（米）

P





在 Rt△PBO中，∠PBO＝  = 45

∴OB＝OP＝450（米）

0

∴AB＝OA－OB＝450 3 − 450  329（米）

O

B

例 2图

A

答：这座大桥的长度约为 329米。

评注：例 1和例 2都是测量问题（测高、测宽等），

角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

解这类问题要理解仰角、俯

【例 3】一艘渔船正以 30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A处看见小岛 C在船的北偏东 60

0

方向，

0

40分钟后，渔船行至 B处，此时看见小岛 C在船的北偏东 30方向，已知以小岛 C为中心周围 10海里以内为我军

导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

分析：此题可先求出小岛 C与航向（直线 AB）的距离，再与 10海里进行比较得出结论。

解：过 C作 AB的垂线 CD交 AB的延长线于点 D

∵cot300 =

AD，cot 600

=

BC

CD

CD

∴ AD = CD cot30， BD = CD cot 60

0 0

∴

AD − BD = CD(cot300 − cot 600) = 20

20

∴CD =

= 10 3

3

3 −

3

∵10 3＞10

∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。

评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的

概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。

北

北

C

D

E

C

30

0

60

0

西

东

A

B

D

A

F

B

南

南

例 4图

例 3图

i

【例 4】某水库大坝横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 CD＝3米，斜坡 AD＝16米，坝高 8米，斜坡 BC的坡度＝1∶

3，求斜坡 AB的坡角和坝底宽 AB。

分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。

解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F，在 Rt△ADE和 Rt△BCF中

∵sin A = DE = 8 = 1

AD 16

2

∴∠A＝30

0

又∵ AE = AD − DE = 162 − 8 = 8 3

2 2 2

，i = CF

= 1

BF

3

∴BF＝3CF＝3×8＝24

∴AB＝AE＋EF＋BF＝8 3 + 3+ 24＝ 27 + 8 3（米）

答：斜坡 AB的坡角∠A＝30

，坝底宽 AB为(27 + 8 3)米。

0

评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值 i = tan），其次是作适当的辅助线构

造直角三角形。

探索与创新：

【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形 ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面 1.2米，卸货时，

车厢倾斜的角度 = 60

0

，问此时车厢的最高点 A离地面多少米？（精确到 1米）

分析：此题只需求出点 A到 CE的距离，于是过 A、D分别作 AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解 Rt△AHD

和 Rt△CDF即可求解。

解：过点 A、D分别作 CE的垂线 AG、DF，垂足分别为 G、F，过 D作 DH⊥AG于 H，则有：

DF = CD sin 600 = 3 2

3 =

3 3

A

H

2

D

AH = ADcos60

0

= 0.5 1 = 1

2

4

B

C

G F

于是 A点离地面的高度为 3 3

2

+ 1 +1.2  4（米）

4

问题一图

答：车厢的最高点 A离地面约为 4米。

【问题二】如图 1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高 2米，房间高 2.6米，

所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图 2中的长廊搬入房间，在图 2中把你的设计

方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。

1.5

0.5

1.45

3

长廊

1.5

房间

0.5

问题二图 1

问题二图 2

略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线 AB，延长 DC交 AB于 E，由题意可知，△ACE

是等腰直角三角形，所以 CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作 DH⊥AB于 H，则 DH = DE sin HED = 2sin 450 =

2

∵ 2  1.5

∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。

长廊

C

D

1.45

E

A

房间

3

H

B

设计方案图

设计方案说理图

跟踪训练：

一、选择题：

i

1、河堤的横断面如图所示，堤高 BC是 5米，迎水斜坡 AB的长是 13米，那么斜坡 AB的坡度是（

A、1∶3 B、1∶2.6 C、1∶2.4 D、1∶2

2、如图，某渔船上的渔民在 A处看见灯塔 M在北偏东 60方向，这艘渔船以 28海里／小时的速度向正东航行半

小时到 B处，在 B处看见灯塔 M在北偏东 15方向，此时灯塔 M与渔船的距离是（

）

0

0

）

A、7 2海里

B、14 2海里

C、7海里

D、14海里

A

B

北

北

M

30

0

45

0

15

0

60

0

东

C

A

A

B

D

C

B

第 1题图

第 2题图

第 3题图

和 30，已知 CD＝100米，点 C在 BD上，则山

3、如图，从山顶 A望地面 C、D两点，测得它们的俯角分别为 45

0

0

高 AB＝（

A、100米

）

B、50 3米

C、50 2米

D、50( 3 +1)米

4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮

每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（

）

A、450a元

B、225a元

C、150a元

D、300a元

A

10m

C

D

i = 1 : 2

6m

D

30m

20m

0

120

C

B

A

B

选择第 4题图

填空第 1题图

填空第 2题图

二、填空题：

1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底 AB＝

2、小明想测量电线杆 AB的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD和地面 BC上，量得 CD＝4米，

BC＝10米，CD与地面成 30角，且此时测得 1米杆的影长为 2米，则电线杆的高度为

米。

0

米（结果保留

两位有效数字， 2＝1.41， 3＝1.73）

三、解答题：

1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点 A处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得

∠CAD＝45，在距离 A点 30米的 B处测得∠CBD＝30，求河宽 CD（结果可带根号）。

0 0

D

15

0

300

C

30

750

0

B

C

A

D

A

B

B

A

第 1题图

2、如图：在小山的东侧 A处有一热气球，以每分钟 28米的速度沿着与垂直方向夹角为 30

时后到达 C处，这时气球上的人发现，在 A处的正西方向有一处着火点 B，5分钟后，在 D处测得着火点 B的府角

第 2题图

第 3题图

0

的方向飞行，半小

6 − 2

6 + 2，

4

是 15，求热气球升空点 A与着火点 B的距离。

0

（结果保留根号，参考数据：sin150 =

，cos15

0

=

4

tan15 = 2 − 3，cot15 = 2 + 3）

0 0

3、如图：某海域直径为 30海里的圆形暗礁区中心有一哨所 A，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向 45海

里的 B处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进 15海里到达 C点，才收

到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。

①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东，求sin的

值；

②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东

多少度？

4、如图，客轮沿折线 A→B→C，从 A出发经 B再到 C匀速航行，货轮从 AC的中点 D出发沿某一方向匀速直

线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线 A→B→C上的某一点 E处。已知 AB＝BC＝200海

里，∠ABC＝90，客轮速度是货轮速度的 2倍。

0

（1）两船相遇之处 E点（

A、在线段 AB上

）

B、在线段 BC上

C、在线段 AB上，也可以在线段 BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

A

D•

C

B

第 4题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：CADC

二、填空题：

1、34米；2、8.7米；

三、解答题：

1、(15 3 +15)米；

2、980(1+

3)米；

3、①sin = 1

3；②300；

4、（1）B；（2）(200 − 100 6 )海里。

3

13.比例线段

知识考点：

本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时

有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。

精典例题：

x − y + z＝

x + y + z

【例 1】已知 x = y = z  0，那么

。

3

4

5

分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求

解，将已知条件转化为 x = 3 z， y = 4 z，代入所求式子即可得解；三是设“k”值法求解，这种方法对于解有关

5

5

连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。

答案： 1

3

变式 1：已知 a = c = = 32，若b − 2d + f − 3  0，则

e

a − 2c + e − 2＝

b − 2d + f − 3

。

b

d

f

变式 2：已知 x : y : z = 2 :1: 3，求 2x − y + 3z的值。

x + 2y

变式 3：已知k = a + b − c = a −b + c =

b + c − a，则k的值为

。

c

b

a

2

答案：（1）；（2）3；（3）1或－2；

3

【例 2】如图，在△ABC中，点 E、F分别在 AB、AC上，且 AE＝AF，EF的延长线交 BC的延长线于点 D。求证：

CD∶BD＝CF∶BE。

分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换

比 CF∶BE，为了变换比 CF∶BE，可以过点 C作 BE的平行线交 ED于 G，并设法证明 CG＝CF即可获证。

A

A

C

A

C

E

F

E

E

F

F

G

B

G

C

D

B

D

B

D

G

例 2图 1

例 2图 2

例 2图 3

本例为了实现将比 CF∶BE转换成比 CD∶BD的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都

是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。

A

E

A

G

B

A

E

F

F

E

F

C

D

B

D

C

B

D

C

例 2图 4

变式 1图

变式 2图

变式 1：已知如图，D是△ABC的边 BC的中点，且 BAEE = 13

，求

AF的值。

FC

变式 2：如图，BD∶DC＝5∶3，E为 AD的中点，求 BE∶EF的值。

答案：（1） 13；（2）13∶3；

【例 3】如图，在△ABC中，P为中线 AM上任一点，CP的延长线交 AB于 D，BP的延长线交 AC于 E，连结

DE。

（1）求证：DE∥BC；

（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于 P，连结 AP并延长交 BC于 M，试问：M是否为 BC的中点？

解析：（1）延长 AM至 Q，使 MQ＝MP

∵BM＝MC，∴四边形 BPCQ是平行四边形

∴CD∥BQ，BE∥QC

A

D

E

∴ AD = AP =

DB PQ

AE

EC

P

M

C

∴DE∥BC

B

（2）过 B作 BQ∥CD交 AM的延长线于 Q

Q

例 3图

AD = AP =

AE

EC

∵DE∥BC，∴ DB PQ

∴ AP

PQ

=

AE，∴BE∥QC

EC

∴四边形 BPCQ是平行四边形

∴M是 BC的中点

探索与创新：

【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：

三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，

△ABC中，AD是角平分线。求证： BD

=

AB。

AC

DC

分析：要证 BD = AB，一般只要证 BD、DC与 AB、AC或 BD、AB与 DC、AC所在三角形相似，现在 B、D、

DC

C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 BD = AB中，AC

DC

AC

AC

恰好是 BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过 C作 CE∥AD交 BA的延长线于 E，从而得到 BD、CD、AB的第四比

例项 AE，这样，证明 BD

=

AB就可以转化为证 AE＝AC。

DC

AC

证明：过 C作 CE∥AD交 BA的延长线于 E

1= 2 

CE∥AD 2 = 3 ∠E＝∠3



E

A







1= E



1 2

 AE＝AC

3

CE∥AD BD

=

AB

AE

B

D

C

DC

问题图

∴ BD =

DC

AB

AC

（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；

（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（

）

①数形结合思想

②转化思想

③分类讨论思想

答案：②转化思想

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，

BC＝7 cm，求 BD的长。

35

答案：

9 cm

评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若 2m − n

= 1

m

n

，则

＝

；若 x : y : z = 2 : 4 : 7，且3x − y + 2z = 32，则 x

＝

，y＝

，

n

3

z＝

。

2、若 x + y = y + z = x + z = k，则k＝

。

z

x

y

3、已知数 3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是

4、如图，在□ ABCD中，E为 BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交 BD于点 F，则 BF∶FD＝

二、选择题：

。

。

1、已知如图，AB∥CD，AD与 BC相交于点 O，则下列比例式中正确的是（

）

A、 AB

=

OA

AD

B、 OA =

OD

OB

BC

C、 AB =

CD

OB

OC

D、 BC = OB

CD

AD

OD

A

A

B

A

D

E

D

O

G

F

F

B

E

C

D

C

B

C

填空第 4题图

选择第 1题图

选择第 2题图

2、如图，在△ABC中，AD＝DF＝FB，AE＝EG＝GC，FG＝4，则（

）

A、DE＝1，BC＝7

C、DE＝3，BC＝5

B、DE＝2，BC＝6

D、DE＝2，BC＝8

3、如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是 BD、CE的中点，则 PQ∶BC＝（

）

A、1∶3

B、1∶4

C、1∶5

D、1∶6

4、如图，l1∥l2， AF =

2 FB，BC＝4CD，若 AE = kEC

k

，则＝（

）

5

A、 5

B、2

C、 5

D、4

3

2

A

A

G

l1

A

F

D

E

D

E

K

E

P

Q

l2

D

B

C

B

C

B

F

H

C

选择第 3题图

选择第 4题图

解答第 1题图

三、解答题：

DK

1、已知如图，AD＝DE＝EC，且 AB∥DF∥EH，AH交 DF于 K，求

的值。

KF

2、如图，□ ABCD中，EF交 AB的延长线于 E，交 BC于 M，交 AC于 P，交 AD于 N，交 CD的延长线于 F。求

证： PE  PM = PF  PN。

AF

m

3、如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边 AB上一点， BF

=

n（m、n＞0），取 CF的中点 D，连结 AD，

并延长交 BC于 E。

（1）求 BE

的值；

EC

（2）如果 BE＝2EC，那么 CF所在的直线与边 AB有怎样的位置关系？并证明你的结论；

（3）E点能否为 BC的中点？如果能，求出相应的 mn的值；如果不能，说明理由。

4、如图，已知梯形 ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P为 BC上一点，PE∥AB交 AC于 E，PF∥CD交 BD于 F，

设 PE、PF的长分别为a、b，x = a + b。那么当点 P在 BC边上移动时，x的值是否变化？若变化，求出 x的范围；

若不变，求出 x的值，并说明理由。

E

C

M

C

B

E

A

F

D

D

P

E

A

D

N

A

F

B

F

解答第 2题图

B

P

C

解答第 3题图

解答第 4题图

跟踪训练参考答案

一、填空题：

2

，4，8，14；2、2或－1；3、3 2或 32或 12等；4、2∶5；

1、

3

二、选择题：CBBB

三、解答题：

1、 1

；

3

PE

=

PN即可；

PM

2、证明 PF

3、（1） BE = m + n；（2）直线 EF垂直平分 AB；（3）E不能是 BC的中点；

EC

n

4、 x的值不变化，为定值， x = 3。

14.相似三角形（一）

知识考点：

本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基

础知识尤为重要。

精典例题：

【例 1】如图，点 O是△ABC的两条角平分线的交点，过 O作 AO的垂线交 AB于 D。求证：△OBD∽△CBO。

分析：此题不易得到边的比例关系，但 O点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面

去考虑。

由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝90，再由 AO⊥DO可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3

0

＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。

A

F

A

A

D

E

D

5

4

O

E

O

3

1

C

2

B

D

例 2图

C

B

C

B

例 1图

变式 1图

变式 1：已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于 O，DE交 AB于 D，交 AC于 E，BO平分∠ABC。求证：

BO

2

= BD BC。

变式 2：已知如图（同变式 1图），在△ABC中，O为两内角平分线的交点，过点 O作直线交 AB于 D，交 AC

于 E，且 AD＝AE。

求证：（1）△BDO∽△OEC；（2） DO 2 = BDCE。

【例 2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于 D，E为 AC中点，DE交 BA的延长线于 F。求证：AB∶

0

AC＝BF∶DF。

分析：由于△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应

边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。

证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC

∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B

∴ AB

AC

=

BD

AD

………①

又∵AD⊥BC，E为 AC中点

∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE

∴∠B＝∠ADE

又∵∠F＝∠F

∴△FAD∽△FDB

∴ BD

AD

=

BF………②

DF

由①②得 AB

AC

=

BF

DF

变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？

A

E

A

D

C

E

D

B

G

D

C

E

F

F

A

B

B

C

F

例 3图

例 2变式图 1

例 2变式图 2

【例 3】如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于 E，且 BC＝BD，对角线 AC、BD相交于 G，AC、BE相交于

F。求证： FC = FG  FA。

2

分析：由于 FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得

BE是 DC的垂直平分线，于是连结 FD得 FD＝FC，再证△FDG∽△FAD即可。

探索与创新：

【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝90

略解：∵AC＝ 6，AD＝2

0

，AC＝ 6，AD＝2。问当 AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？

A

∴CD＝

AC − AD =

2 2

2

要使这两个直角三角形相似，有两种情况：

D

（1）当 Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 AC

=

AB

AC

B

C

AD

问题一图

∴ AB = AC

2

= 3

AD

（2）当 Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 AC

=

AB

AC

CD

∴ AB = AC

2

= 3 2

CD

故当 AB的长为 3或3 2时，这两个直角三角形相似。

【问题二】已知如图，正方形 ABCD的边长为 1，P是 CD边的中点，点 Q在线段 BC上，设 BQ＝k，是否存在

这样的实数k，使得 Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

略解：假设存在满足条件的实数k，则在正方形 ABCD中，∠D＝∠C＝90

0

，由 Rt△ADP∽Rt△QCP或 Rt△ADP

∽Rt△PCQ得：

AD = DP或 AD =

QC CP PC

DP

CQ

A

D

由此解得：CQ＝1或 CQ＝ 1

，从而k = 0或k =

3

4

P

4

3

故当k = 0或k =时，△ADP与△QCP。

4

Q

B

C

跟踪训练：

问题二图

一、填空题：

1、如图，在△ABC中，P是边 AB上一点，连结 CP，使△ACP∽△ABC的条件是

。

2、在直角坐标系中，已知 A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过 C点作直线l交 x轴于 D，使得以点 D、C、O

为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线有

条。

3、如图，在△ABC中，∠C＝90

0

，AC＝8，CB＝6，在斜边 AB上取一点 M，使 MB＝CB，过 M作 MN⊥AB交 AC于

N，则 MN＝

。

A

A

C

D

N

P

B

C

B

M

第 3题图

A

B

E

C

第 1题图

第 5题图

4、一个钢筋三角架长分别为 20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30 cm和 50

cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有

种。

5、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则 CD＝

。

二、选择题：

1、下面两个三角形一定相似的是（

A、两个等腰三角形

）

B、两个直角三角形

D、两个等边三角形

C、两个钝角三角形

2、如图，点 E是平行四边形 ABCD的边 CB延长线上一点，EA分别交 CD、BD的延长线于点 F、G，则图中相似三

角形共有（

A、3对

）

B、4对

C、5对

D、6对

三、解答题：

1、如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90

0

，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。

E

A

B

A

F

A

B

F

B

C

D

E

C

G

E

F

C

D

选择第 2题图

解答第 1题图

解答第 2题图

2、如图，在四边形 ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于 E，交 AB于 F。求证：△AFD∽△ADB。

3、如图，在梯形 ABCD中，AB∥CD，∠D＝90，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在 AD上找一点 P，使得以 P、

A、B和以 P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的 P点有几个？并求出 AP的长；若不能，请说明理由。

0

A

B

P

E

A

D

C

B

D

C

解答第 4题图

解答第 3题图

4、在边长为 1的正方形网格中有 A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还

能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或 AC

4、2种；5、6

2

= AP AB；2、4条；3、3，5；

二、选择题：DD

三、解答题：

1、设 AB＝BE＝EF＝FC＝a，∵∠B＝90

0

，∴AE＝ 2a

∵ AE =

2a = 2， AE

EC

2a

= = 2

2a

EF

a

∴ AE =

EF

EC

AE且∠AEF＝∠CEA

∴△AEF∽△CEA

2、证△AED∽△ADC，△FAE∽△CAB，△FAD∽△DAB

3、能，有三个，AP＝4.5或15 141

2

4、△ABC∽△ADE，还有△ABD∽△ACE。

15.相似三角形（二）

知识考点：

本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用

精典例题：

AD 5，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长。

【例 1】如图，在△ABC中，AB＝14cm， BD

分析：由 AB＝14cm，CD＝12cm得SABC

=

9

2

SADE  AD 

＝84，再由 DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有 SABC  AB 可求得

= 

SADE，利用勾股定理求出 BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。

75

答案：△ADE的面积为 7

cm

2

，周长为 15 cm。

A

A

A

D

E

D

P

E

M

P

C

B

M

Q F

C

B

N

变式 1图

B

C

例 1图

例 2图

【例 2】如图，正方形 DEMF内接于△ABC，若SADE = 1，S正方形DEFM = 4，求 SABC

分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过 A点作 AQ⊥BC于 Q，交 DE于 P，利用SADE可得 AP及 AQ的

长，再由△ADE∽△ABC求出 BC，从而求得SABC

。

解：∵正方形的面积为 4，∴DE＝MF＝2。过 A点作 AQ⊥BC于 Q，交 DE于 P

∵SADE = 1，∴AP＝1

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ AP

=

DE

BC

，即 =

1

2

AQ

3

BC

∴BC＝6，故SABC＝9

变式 1：如图，已知菱形 AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在 AB、BC、AC上，如果 AB＝21 cm，CA＝15 cm，

求菱形 AMNP的周长。

答案：35 cm

变式 2：如图，在△ABC中，有矩形 DEFG，G、F在 BC上，D、E分别在 AB、AC上，AH⊥BC交 DE于 M，DG∶

DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。

A

D

A

C

M

N

C

S1 P S 2

N

P

D

M

E

M

S3

T

B

G

H

F C

A

R

B

B

变式 2图

例 3图

问题一图

24

48

cm

答案：

cm， 7

7

【例 3】如图，已知 P为△ABC内一点，过 P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、

S3，分别为 4、9、49，求△ABC的面积。

2

q

c

解：设 MP＝ p，RT＝r，PN＝q，由于S1、S2、S3都相似于△ABC，设△ABC的面积为S，AB＝c，则有

=

，

S

3

p，

c

7

= r

=

，三式相加得：

S

S

c

2 + 3+ 7 =

S

p + q + r = c = 1

c c

∴ S = 12，故S =144

探索与创新：

【问题一】如上图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，过 BD上一点 P作 MN∥BC交 AB、DC于

M、N，若 AM∶MB＝m∶n。

（1）计算 PM、PN的长；

（2）当a∶b＝m∶n时，PM与 PN有怎样的关系？

1

（3）在什么条件下才能得到 MN＝ (a + b)。

2

略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC

∴ PM =

DA

BM

BA

， PN = DN =

BC DC

AM

AB

又∵AM∶MB＝m∶n，∴BM∶AB＝n∶(m + n)

∴AM∶AB＝m∶(m + n)

n

m + n

m

m + n

∴ PM =

a， PN =

b

n

m

（2）∵ PM = m + n a， PN = m + n

b

∴当na = mb，即a∶b＝m∶n时，才有 PM＝PN；

（3）∵MN＝PM＋PN＝ na + mb

，由 12 (a + b) = na + mb

m + n

可得：

m + n

(a −b))(m − n) = 0

从而a −b = 0或m − n = 0

1

故当a = b，且四边形 ABCD为平行四边形时，MN＝ (a + b)或m = n且 MN为梯形（或平行四边形）

2

1

的中位线时，MN＝ (a + b)。

2

【问题二】如图，已知梯形 ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为a、b (a  b)，梯形 ABCD的高未给出，

在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线 EF（点 E、F分别在 AB、CD上），使 EF把梯形 ABCD分割成

面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出 EF的长度。

解：延长 BA、CD相交于点 O，设 EF＝ x，△OAD的面积为S0，梯形 ABCD的面积为2S，

∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD

O

2

S0 + S =

S0

SOEF  EF 

SOAD  AD 

x

2

2

∴

= 

，即

a

a

A

D

整理得1+ S = ax 2………①

2

E

F

S

b

0

B

C

同理△OBC∽△OAD， S0 + 2S = b

2

问题二图

2，

S0

a

整理得1+ 2S

2

= ba 2………②，由①②消去 S

S得：1= 2x

22 − b

2

S0

a

a

2

0

= a

2

+ b

2

a

2

+ b

2

a

2

+ b

2

即 x

2

，∵ x  0，∴ x =

，即 EF＝

2

2

2

跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于 O点，AD∶BC＝3∶5，则 AO∶OC＝

，SAOD∶SBOC

＝

，SAOD∶ SAOB

＝

。

2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为

。

3、两个相似三角形面积之差为 9cm

2

，对应角平分线的比是 2∶ 3，这两个三角形的面积分别是

。

A

D

E

A

D

G

F

O

B

C

B

C

第 1题图

第 4题图

4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果 AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则S四边形DFGE∶S四边形FBCG

＝

。

二、选择题：

1、如图，在正方形 ABCD中，点 E在 AB边上，且 AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于 G交 BC于 F，则△AEG的面积与四边

形 BEGF的面积之比为（

）

A、1∶2

B、1∶4

C、4∶9

D、2∶3

A

D

A

G

E

D

E

O

B

F

C

B

C

第 1题图

第 2题图

2、如图，已知 DE∥BC，CD和 BE相交于点 O，SDOE∶SCOB＝4∶9，则 AE∶EC为（

A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4

）

3、在△ABC中，D为 AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝ 6，AC＝3，则 CD的长为（

）

3

2

D、 5

A、1

B、

C、2

2

三、解答题：

1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点 D、E分别在 AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与

四边形 BCED的周长相等，求 DE的长。

2、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90，D、E分别为 AB、AC上一点，且 BD＝ 1

AB，AE＝ 13 AC，。求证：

0

3

∠ADE＝∠EBC。

A

D

A

A

E

F

E

D

D

B

C

B

C

B

E

C

第 1题图

第 2题图

第 3题图

3、已知如图，正方形 ABCD中，AB＝2，E是 BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积S1和四边形 CDFE

的面积 S2。

4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点 P从 A点开始沿 AB边向点 B以 2 cm／秒的速度移动，点 Q从 B点

开始沿 BC边向点 C以 4 cm／秒的速度移动，如果 P、Q分别从 A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△

ABC相似？这样的三角形有几个。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、3∶5，9∶25，3∶5；2、1∶ 2；3、18 cm，27 cm；4、8∶27；

2 2

二、选择题：CAC

三、解答题：

1、

63；

11

2、提示：过 E点作 EF⊥BC于 H，证△DAE∽△BHE较容易；

3、S1 = 0.8，S2 = 2.2；

4、2秒或 0.8秒，这样的三角形有两个。

16.相似形的综合运用（二）

知识考点：

本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综

合题是常见的热点题型。

精典例题：

【例 1】如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在 AC上（与点 A、C不重合），Q点在

BC上。

（1）当△PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时，求 CP的长。

（2）当△PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时，求 CP的长。

（3）试问：在 AB上是否存在点 M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，

请求出 PQ的长。

解：（1）∵SPQC = S四边形PABQ，∴SPQC : SABC = 1: 2

又∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

SPQC

 PC 

2

= 1

，∴ PC

 1 = 8

SABC  AC 

= 

2

2 = 42

2

∴

故 PC = 2 2

（2）∵△PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等

∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝ 12（△ABC的周长）＝6

又∵PQ∥AB，∴ CP

=

CQ

，即 CP = 6 −CP，解得CP =

24

7

CA

CB

4

3

C

C

C

P

Q

Q

P

P

Q

A

B

A

M

例 1图 2

M

B

A

M

例 1图 3

B

例 1图 1

（3）①依题意得（如图 2）当∠MPQ＝90，PM＝PQ时，由勾股定理的逆定理得∠C＝90，∴△ABC的 AB

0

0

12

5

边上的高为

，设 PM＝PQ＝ x

12 − x

∵PQ∥AB，△CPQ∽△CAB，∴ x = 5

，解得 x = 3760，即 PC = 3760

5

12

5

当M QP = 90，

0

QP = QM 时，同理可得 PC = 3760

1

②依题意得（如图 3）当∠PMQ＝900，MP＝MQ时，由等腰直角三角形的性质得：M到 PQ的距离为 2 PQ，

设 PQ＝ x，由 PQ∥AB可得△CPQ∽△CAB，所以有：

x = 152 − 1 x

A

A

120

120

49

2

12

，解得 x =

49，即 PQ =

5

5

【例 2】如图，△ABC≌△ ABC，∠C＝∠C＝90

先将△ABC和△ ABC完全重合，再将△ABC固定，△ ABC

以每秒 1cm的速度平行移动，设移动 x秒后，△ABC与△ ABC

＝3cm，AB＝5cm，

沿 CB所在的直线向左

的重叠部分的面积为

秒后重叠部分的面积

0

，AC

B

C

B

C

例 2图

y cm

2

，则 y与 x之间的函数关系式为

，

为

3 cm2。

8

答案： y = 3 x

2

− 3x + 6（0≤ x≤4）

8

变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。

探索与创新：

【问题】在△ABC中，D为 BC边上的中点，E为 AC边上任意一点，BE交 AD于点 O。某学生在研究这一问题

时，发现了如下的事实：

当 AE

AC

= 1 =

1

1+1

时，有 AO

AD

2

= =

3

2

2

2 +1（如图 1）

当 AE

AC

= 1 =

1

1+ 2

时，有 AO

AD

= 2 =

2

3

4

2 + 2（如图 2）

当 AE

AC

= 1 =

1

1+ 3

时，有 AO

AD

= 2 =

2

4

5

2 + 3（如图 3）

在图 4中，当 AE

1

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示

AO

AD

的一般结论，并给出证明（其中n

AC = 1+ n

是正整数）。

分析：特例能反映个性特征信息 ,个性之中包含着共性,共性蕴含在个性之中。特例所反映的个性特征 ,往往

通过类比就可以反映其共性规律。

对照（1）、（2）、（3）很容易猜想得到这样一个结论：

独想：当 AE

1

时，有 AO =

2

AD 2 + n

成立。

AC = 1+ n

A

A

A

A

E

E

E

O

E

O

O

F

O

C B

D

C

B

D

C B

C B

D

D

问题图 1

问题图 2

问题图 3

问题图 4

证明：过点 D作 DF∥BE，交 AC于点 F

∵D是 BC的中点

∴F是 EC的中点

由 AE

1

可知 AE

EC

= 1

AC = 1+ n

n

AE

2

=

∴

∴

EF

AE

n

2

AF = 2 + n

∴ AO =

AE

2

AD AF = 2 + n

跟踪训练：

一、填空题：

1、梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AC、BD交于点 O，过点 O的直线分别交 AB、CD于 E、F，若 AE = 1，FC

AB

3

＝4cm，则 CD＝

cm。

2、如图，O是平行四边形 ABCD对角线的交点，OE∥AD交 CD于 E，OF∥AB于 F，那么SOEF∶ S平行四边形ABCD

＝

。

B

A

G

A

D

F

E

H

O

E

B

F

第 2题图

C

C

D

第 3题图

3、如图，在梯形 ABCD中，AB∥CD，中位线 EF交 BD于 H，AF交 BD于 G，CD＝4AB，则S梯形ABCD∶SGHF

＝

。

二、选择题：

矩形 ABCD中，AB＝3，AD＝4，DE垂直对角线 AC于 E，那么SADE∶SDCE

＝（

）

A、4∶3

B、16∶9

C、2 3∶3

D、3∶4

三、解答题：

1、如图，在正方形 ABCD中，M是 AB上一点，BM＝BN，作 BP⊥MC于 P，求证：DP⊥NP。

y

A

H

D

A

D

C

E

B

M

P

G

Q

M

B

x

A

P

O

F

C

B

N

C

第 2题图

第 4题图

第 1题图

AE = BF = DG = AH = k (k  0)，

2、如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且 EB FC GC

HD

阅读下段材料，然后再回答后面的问题：

AE AH，∴EH∥BD

连结 BD，∵ EB

=

HD

∵ BF

FC

=

DG，∴FG∥BD，∴FG∥EH

GC

①连结 AC，则 EF与 GH是否一定平行？答：

。

②当k值为

时，四边形 EFGH是平行四边形；

③在②的情况下，对角线 AC与 BD只须满足

④在②的情况下，对角线 AC与 BD只须满足

条件时，EFGH是矩形；

条件时，EFGH是菱形。

3、已知△ABC中，AB＝ 2 3，AC＝2，BC边上的高 AD＝ 3。

（1）求 BC的长；

（2）如果有一个正方形的一边在 AB上，另外两个顶点分别在 AC、BC上，求正方形的面积。

提示：D点可能在 BC上或在 BC的延长线上，问题要分类讨论。

1

3、已知抛物线 y = x

2

+ 3mx +18m

2

− m与 x轴交于 A（ x1，0），B（ x2，0）(x1  x2)两点，与 y轴交于

8

点 C（0，b），O为坐标原点。

（1）求m的取值范围；

（2）若m  181，OA＋OB＝3OC，求抛物线的解析式及 A、B、C三点的坐标；

（3）在（2）的情形下，点 P、Q分别从 A、O两点同时出发（如图）以相同的速度沿 AB、OC向 B、C运动，

连结 PQ与 BC交于 M，设 AP＝k，问是否存在k值，使以 P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，求k

的值；若不存在，请说明理由。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、12；2、1∶8；3、15∶2；

二、选择题：B

三、解答题：

1、证△BPM∽△CPB，△PBN∽△PCD；

2、①不一定；②1；③AC⊥BD；④AC＝BD；

3、①点 D在 BC上时，BC＝4，S = 12 − 6 3；②点 D在 BC的延长线上时，BC＝2，S = 156 − 48 3

；

121

4、（1）m  0；

1

3

（2）A（－8，0），B（－4，0），C（0，4）， y = x

2

+ x + 4

8

2

（3）存在k = 8

或 2

3

17.圆的有关概念和性质

知识考点：

1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；

2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；

3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。

精典例题：

【例 1】在平面直角坐标系内，以原点 O为圆心，5为半径作⊙O，已知 A、B、C三点的坐标分别为 A（3，4），

B（－3，－3），C（4，− 10）。试判断 A、B、C三点与⊙O的位置关系。

分析：要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。

解：∵OA＝OA = 3 + 4 = 5

2 2

OB = (−3)

2

+ (−3)

2

= 3 2  5

2

OC = 4 + (− 10)

2

= 26  5

∴点 A在⊙O上，点 B在⊙O内，点 C在⊙O外。

【例 2】如图，△ABC中，∠A＝70，⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝

0

。

分析：由于⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则点 O到三边的距离也相等，即 O是△ABC角平分线

的交点，问题就容易解决了。

解：作 OD⊥BC于 D，OE⊥AC于 E，OF⊥AB于 F，则 OD＝OE＝OF

∴O为△ABC角平分线的交点

A

∵∠A＝70

0

∴∠ABC＋∠ACB＝110

0

F

O

E

∴∠OBC＋∠OCB＝ 12×1100＝55

0

D

∴∠BOC＝180

0

－55

0

＝125

0

B

C

例 2图

【例 3】如图 1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（

）





 

B、 AB  2CD

A、 AB  2CD









D、 AB与 2CD的大小关系不能确定

C、 AB = 2CD







分析：如图 1，把 2CD作出来，变成一段弧，然后比较 2CD与 AB的大小。









解：如图 1，作 DE = CD，则CE = 2CD

∵在△CDE中，CD＋DE＞CE

∴2CD＞CE

∵AB＝2CD

∴AB＞CE









∴ AB = CE，即 AB  2CD

y

E

A

C

B

A

C

B

•O

•O

•M B

O

A

x

E

C

D

D

变式图

例 3图 1

问题图





变式：如图，在⊙O中， AB = 2CD，问 AB与 2CD的大小关系？









略解：取 AB的中点 E，则 AB = BE = CD

∴AB＝BE＝CD

∵在△AEB中，AE＋BE＞AB

∴2CD＞AB，即 AB＜2CD

探索与创新：

【问题】已知点 M（ p，q）在抛物线 y = x

2

−1上，若以 M为圆心的圆与 x轴有两个交点 A、B，且 A、B

两点的横坐标是关于 x的方程 x − 2px + q = 0的两根（如上图）。

2

（1）当 M在抛物线上运动时，⊙M在 x轴上截得的弦长是否变化？为什么？

（2）若⊙M与 x轴的两个交点和抛物线的顶点 C构成一个等腰三角形，试求 p、q的值。

分析：（1）设 A、B两点的横坐标分别是 x1、 x2，由根与系数的关系知 x1 + x2 = 2p， x1  x2 = q，那么：

AB = x1 − x2 = (x1 − x2) = (x1 + x2) − 4x1x2 = 2 p − q，又因为 M在抛物线 y = x

2 2 2

2

−1 上，所以

q = p

2

−1。故 AB＝2，即⊙M在 x轴上截得的弦长不变。

（2）C（0，－1），BC = x2

2

+1， AC = x12 +1

①当 AC＝BC，即 x1 = −x2时， p = 0，q = −1；

②当 AC＝AB时， x12 +1= 4， x1 =  3， p = 1+ 3，q = 3+ 2 3或 p = 3 −1，q = 3− 2 3

③当 BC＝AB时， x2 =  3， p = 3 −1，q = 3− 2 3或 p = − 3 +1，q = 3+ 2 3

跟踪训练：

一、选择题：

1、两个圆的圆心都是 O，半径分别为r1、r2，且r1＜OA＜r2，那么点 A在（

）

A、⊙r1内 D、⊙r1内，⊙r2外

B、⊙r2外

C、⊙r1外，⊙r2内

2、一个点到圆的最小距离为 4cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是（

）

A、2.5 cm或 6.5 cm

3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形

B、2.5 cm

C、6.5 cm

D、5 cm或 13cm

）

D、不能确定

4、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，

弦 CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点 P，当点 C在上半圆（不包

自上半圆上一点 C作

括 A、B两点）上移动

C

D

O

时，点 P（

）

A

B

A、到 CD的距离保持不变

B、位置不变



C、等分 DB

P

第 4题图

D、随 C点移动而移动

二、填空题：

1、若d为⊙O的直径，m为⊙O的一条弦长，则d与m的大小关系是

2、△ABC的三边分别为 5 cm、12 cm、13 cm，则△ABC的外心和垂心的距离是

3、如图，⊙O中两弦 AB＞CD，AB、CD相交于 E，ON⊥CD于 N，OM⊥AB于 M，连结 OM、ON、MN，则∠MNE

。

。

与∠NME的大小关系是∠MNE

∠NME。

C

C

B

E

D

N

F

E

M

D

A

B

O

O

A

第 4题图

第 3题图

4、如图，⊙O中，半径 CO垂直于直径 AB，D为 OC的中点，过 D作弦 EF∥AB，则∠CBE＝

。

5、在半径为 1的⊙O中，弦 AB、AC的长分别为 2和 3，则∠BAC的度数为

。

三、计算或证明：



1、如图，AB的度数为 90



，点 C和点 D将 AB三等分，半径 OC、OD分别和弦 AB交于 E、F。求证：AE＝CD

0

＝FB。

O

B

C

A

A

C

M

Q

P

•

O

•

E

F

B

O

A

D

B

C

D

D

第 1题图

第 2题图

第 3题图





2、如图，在⊙O中，两弦 AB与 CD的中点分别是 P、Q，且 AB = CD，连结 PQ，求证：∠APQ＝∠CQP。

3、如图，在⊙O中，两弦 AC、BD垂直相交于 M，若 AB＝6，CD＝8，求⊙O的半径。





4、如图，已知 A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且 AB = BD，BM⊥AC于 M，求证：AM＝DC＋CM。

B

C

M

•

O

A

D

第 4题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：CABB

二、填空题：

1、d≥m；2、6.5cm；3、＞；4、30

；5、15或 75

0 0 0

三、计算或证明：

1、提示：连结 AC、BD，先证 AC＝CD＝BD，再利用角证 AC＝AE，BD＝DF即可；

2、提示：连结 OP、OQ

∵P、Q是 AB、CD的中点，∴OP⊥AB，OQ⊥CD





∵ AB = CD，∴OP＝OQ

∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP

3、提示：连结 CO并延长交⊙ O于 E，连结 ED、AE，设⊙ O的半径为 R，则∠ EDC＝∠EAC＝90，∴

0

 

CD + ED = 4R。∵AC⊥BD，∴AE∥BD，∴ AB = ED，∴AB＝ED，∴ AB + CD = 4R

2 2 2 2 2 2

，而 AB＝6，CD＝

8，∴R＝5

4、提示：延长 DC至 N，使 CN＝CM，连结 NB，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM，

Rt△BAM≌Rt△BDN。

18.垂径定理

知识考点：

1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤

平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

精典例题：

【例 1】如图，⊙O的直径 AB和弦 CD相交于 E，若 AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝30，求：

0

（1）CD的长；

（2）C点到 AB的距离与 D点到 AB的距离之比。

分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的

一种常见辅助线添法。

D

解：（1）过点 O作 OF⊥CD于 F，连结 DO

∵AE＝2cm，BE＝6cm，∴AB＝8cm

F

∴⊙O的半径为 4 cm

A G

C

E

B

•

∵∠CEA＝30，∴OF＝1 cm

0

O

H

∴ DF = OD

2

−OF

2

=

15 cm

由垂径定理得：CD＝2DF＝ 2 15 cm

例 1图

（2）过 C作 CG⊥AB于 G，过 D作 DH⊥AB于 H，易求 EF＝ 3 cm

∴DE＝( 15 + 3) cm，CE＝( 15 − 3) cm

∴ CG = CE = 15 − 3 = 3− 5

DH DE

15 + 3

2

【例 2】如图，半径为 2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和 CD，它们的交点 E到圆心 O的距离等于 1，则

AB

2

+ CD

2

＝（

）

C

A、28

C、18

B、26

D、35

O•

M

N

分析：如图，连结 OA、OC，过 O分别作 AB、CD的垂线，

＝MB，CN＝ND。

∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN＝ND

E

垂足分别为 M、N，则 AM

A

B

D

例 2图

∴OM

2

+ ON

2

= OE

2

C

从而OA

2

− AM

2

+ OC

2

−CN

2

= OE

2

O•

N

E

− ( AB)

CD

即 2

2

2

+ 2

2

− (

)

2

= 1

2

A

B

2

2

M

D

例 2图

2

∴ AB + CD 2 = 28

故选 A。

【例 3】如图，等腰△ABC内接于半径为 5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝ 13。求：

（1）BC的长；

（2）AB边上高的长。







分析：（1）已知 AB＝AC，可得 AB = AC，则 A为 BC的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应

用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。

解：（1）连结 AO交 BC于 D，连结 BO

A





由 AB＝AC得 AB = AC，又 O为圆心

B

C

D

•

由垂径定理可得 AO垂直平分 BC

O

∵tanB＝ 13，设 AD＝ x cm，则 BD＝3x cm

∴OD＝(5− x) cm

例 3图

在 Rt△BOD中，5 + (3x) = (5− x)

2 2 2

，解得 x1 = 1， x2 = 0（舍去）

∴BD＝3 cm，BC＝6 cm。

（2）设 AB边上的高为h，由（1）得：AD＝1 cm，AB＝ 10 cm

∵SABC = 1 BC  AD = 12 ABh

2

∴h = BC  AD

= 3 10

5

AB

探索与创新：

【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于 C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于 E，BF⊥l于 F。

（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；

（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论

的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；

（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。

•

•

•

①

②

③

分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l与 AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l与

AB平行；②直线l与 AB相交；③直线l与 AB或 BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结

论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。

解（1）如下图所示。

B

B

O

O

O•

•

A

•

B

A

E

D l

l

l

D F

D F

C

H

F

E C

H

EC

H

A

问题一图 1

问题一图 2

问题一图 3

（2）EC＝FD或 ED＝FC

（3）以①图为例来证明。过 O作 OH⊥l于 H

∵AE⊥l，BF⊥l，∴AE∥OH∥BF

又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得 CH＝DH

∴EH－CH＝FH－DH，即 EC＝FD

E

C

A

B

P

Q

N

M

D

F

【问题二】如图，⊙O1与⊙O2相交于 A、B两点，过 A

任作一直线与⊙O1交

O1

O2

问题二图

于 M，与⊙O2交于 N，问什么时候 MN最长？为什么？

解析：任作两条过 A的线段 EF、MN，比较 MN与 EF的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过 O1、O2作弦

1

心距，易知 CD＝ 12 EF，PQ＝ 2 MN，比较 PQ与 CD的大小即可（PQ＝O1O2）。发现 O1O2是直角梯形的斜腰，大于

直角腰，如果 MN的一半正好是 O1O2，则 MN最长。

答案：当 MN∥O1O2时，MN最长。

跟踪训练：

一、选择题：

1、下列命题中正确的是（

）

A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；

C

C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；

D、弦的垂线平分弦所对的弧。

•O

2、如图，⊙O中，直径 CD＝15cm，弦 AB⊥CD于点 M，OM∶MD＝3∶

3、已知⊙O的半径为 10cm，弦 AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，

2，则 AB的长是（ ）

则 AB和 CD的距离是

M

A

B

（

）

D

A、2cm

B、14cm

选择第 2题图

C、2cm或 14cm

D、2cm或 12cm

4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为 1，则圆的半径长为（

）

3

D、 5

A、1

B、

C、2

2

2

二、填空题：

1、在半径为 5cm的⊙O中，有一点 P满足 OP＝3 cm，则过 P的整数弦有

2、如图，⊙O中弦 AB⊥CD于 E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为

条。

。

3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120

0

，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为

。

0

4、圆内一弦与直径相交成 30的角，且分直径为 1 cm和 5 cm两段，则此弦长为

。

5、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于 D，BD交 OC于 E，若 AC＝4，AB＝5，则 BE＝

。

D

C

C

A

B

A

E

D

D

E

•O

A

•

B

•

1

•

O

O

O

P

2

B

C

第 2题图

第 5题图

第 6题图

6、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于 A、B两点，C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交 O1 O2的延长线于 P，

∠P＝30

0

，O1O2 = 2 3，则 CD＝

。

三、计算或证明题：

1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90

求 AB、AD的长。

0

，AC＝3，BC＝4，以点 C为圆心，CA为半径的圆与 AB、BC分别交于点 D、E，

C

A

E

O•

C

•

G

A

•

B

O

E

F

D

D

B

C

A

D

B

E

第 1题图

第 2题图

第 3题图

2、如图，⊙O的半径为 10cm，G是直径 AB上一点，弦 CD经过点 G，CD＝16cm，AE⊥CD于 E，BF⊥CD于 F，

求 AE－BF的值。

3、如图，AB为⊙O的直径，点 C在⊙O上，∠BAC的平分线交 BC于 D，交⊙O于 E，且 AC＝6，AB＝8，求

CE的长。

4、如图，△ABC内接于⊙O，弦 AD⊥BC于 E，CF⊥AB于 F，交 AD于 G，BE＝3，CE＝2，且 tan∠OBC＝1，

求四边 ABDC的面积。

A

F

G

•O

C

B

E

D

第 4题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：BCCD

二、填空题：

65；3、10 3 cm；4、4 2 cm；5、 2 13；6、6

1、4条；2、

2

3

3

三、计算或证明题：

18

1、AB＝5，AD＝ 5

；

2、解：连结 OC，过点 O作 OM⊥CD于 M，则 CM＝MD

∵CD＝16，AB＝8，在 Rt△OMC中，因 OC＝10

∴OM＝

OC −CM = 102 − 82 = 6

2 2

∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF

∴ AE = AG， BF =

OM OG OM

BG

OG

∴ AE − BF = AG − BG = 2OG = 2

OM OG

OG

∴AE－BF＝2OM＝12





3、提示：连结 OE，由BE = EC得 OE垂直平分 BC于 F，AB为直径，则∠ACB＝90

AB − AC 2 = 2 7。

2

0

，BC＝

∴CF＝ 7，EC＝ ( 7)2 +12 = 2 2

4、解：过点 O作 OM⊥BC于 M，ON⊥AD于 N，连结 AO

∵BE＝3，CE＝2，∴BC＝5，BM＝ 5

2

又∵tan∠OBC＝1，∴∠OBM＝45

0

5

1

在 Rt△OBM中，OB＝ 2 2，∴ON＝ME＝ 2

在 Rt△AON中，AN＝

OA

2

− AN

2

= 7

2

∵ON⊥AD，∴AN＝ND，∴AD＝7

∴S ABDC = 1 BC  AE + 1 BC  DE = 1 BC  AD =

35

2

2

2

2

19.切线的判定与性质

知识考点：

1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两

种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：

【例 1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于 E点，过 E点作⊙O的切线，交 BC于 D点，

DE＝DC，作 EF⊥AC于 F点，交 AD于 M点。

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）EM＝FM。

分析：（1）由于 AC为直径，可考虑连结 EC，构造直角三角形来解题，要证 BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3

＝90即可；（2）可证到 EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。

0

证明：（1）连结 EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2

∵DE切⊙O于 E，∴∠2＝∠BAC

B

∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝90

0

E

∴∠1＋∠3＝90

0

，故 BC是⊙O的切线。

，∴BC⊥AC

2

D

M

（2）∵∠1＋∠3＝90

0

31 C

A

•

又∵EF⊥AC，∴EF∥BC

O

F

∴ EM = AM =

MF

CD

BD AD

例 1图

∵BD＝CD，∴EM＝FM

【例 2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是 BC的中点，以 O

于点 D。求证：AC是⊙O的切线。

分析：由于⊙O与 AC有无公共点未知，因此我们从圆心 O

OE就是⊙O的半径即可。

为圆心的圆与 AB相切

向 AC作垂线段 OE，证

A

D

E

证明：连结 OD、OA，作 OE⊥AC于 E

∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线

∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB

B

O

C

又∵OE⊥AC，∴OE＝OD

例 2图

∴AC是⊙O的切线。

【例 3】如图，已知 AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为 B，OC平行于弦 AD，OA＝r。

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求 ADOC的值；

9

（3）若 AD＋OC＝ r，求 CD的长。

2

分析：（1）要证 CD是⊙O的切线，由于 D在⊙O上，所以只须连结 OD，证 OD⊥DC即可；（2）求 ADOC的

值，一般是利用相似把 ADOC转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）

9

由 ADOC，AD＋OC＝ r可求出 AD、OC，根据勾股

C

定理即可求出 CD。

2

证明：（1）连结 OD，证∠ODC＝90

（2）连结 BD

0

即可；

D

1

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90

∵∠OBC＝90，∴∠ADB＝∠OBC

又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC

0

2

3

•

A

B

0

O

∴ AD =

OB

AB

例 3图

OC

∴ ADOC = OB AB = 2r

（3）由（2）知 ADOC = 2r

2

9

，又知 AD＋OC＝ r

2

2

− 9 rx + 2r 2 = 0的两根

∴AD、OC是关于 x的方程 x

2

2

解此方程得 x1 = 2r， x2 = 4r

∵OC＞r，∴OC＝ 4r

∴CD＝ OC 2 −OD 2 = 16r 2 − r 2 =

15r

探索与创新：

【问题一】如图，以正方形 ABCD的边 AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，CG切半圆于 E，交 AD

于 F，交 BA的延长线于 G，GA＝8。

（1）求∠G的余弦值；

（2）求 AE的长。

略解：（1）设正方形 ABCD的边长为a，FA＝FE＝6，在 Rt

△

FCD

中

，

FC

2

= FD

2

+ CD

2

，(a + b)

2

= (a −b)

2

+ a

2

，解得a = 4b。

G

A

F

CD

a

∴cosFCD = FC = a + b = 54bb = 5

4

D

C

E

∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴cosG = 54

O •

（2）连结 BE，∵CG切半圆于 E，∴∠AEG＝∠GBE

∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG

B

问题一图

∴ AE = GE = 16

BE GB 32

= 1

2

24

在 Rt△AEB中，可求得 AE = 5

5

【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心 O在 AB上，并分别与 AC、BC相

切于点 P、Q。

（1）求∠POQ；

（2）设 D是 CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点 M，点 E在 CB的延长线上，试判断∠DOE的大小

是否保持不变，并说明理由。

分析：（1）连结 OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含的式子表示出来，由于为

定值，则∠DOE为定值。

解：（1）连结 OC

∵BC切⊙O于 P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB

∵CA＝CB，∴CO⊥AB

∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA

∵∠CAB＝，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝2

（2）由 CD、DE、CE都与⊙O相切得：

C

∠ODE＝ 1

1

2∠CDE，∠OED＝ 2∠CED

P

Q

∴∠DOE＝180

0

－（∠ODE＋∠OED）

－ 1

A

B

＝180

＝180

0

2（∠CDE＋∠CED）

O

D

1

0

－

2（1800－∠ACB）

N

E

问题二图

1

＝180

0

－

2 [1800－（1800－2）]

＝180

0 −

∴∠DOE为定值。

跟踪训练：

一、选择题：

1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（

A、经过半径外端点的直线是圆的切线；

B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；

C、垂直于半径的直线是圆的切线；

）

D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、在 Rt△ABC中，∠A＝90

，点 O在 BC上，以 O为圆心的⊙O分别与 AB、AC相切于 E、F，若 AB＝a，AC＝b，

0

则⊙O的半径为（

）

B、 a + b

ab

D、 a + b

A、 ab

C、 a + b

ab

2

3、正方形 ABCD中，AE切以 BC为直径的半圆于 E，交 CD于 F，则 CF∶FD＝（

A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶5

4、如图，过⊙O外一点 P作⊙O的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，连结 AB，在 AB、PB、PA上分别取一点 D、

）

E、F，使 AD＝BE，BD＝AF，连结 DE、DF、EF，则∠EDF＝（

B、900－ 1

）

A、90

0

－∠P

∠P

C、180

0

－∠P

D、450－ 1

∠P

2

2

A

D

A

C

D

F

D

P

E

•O

O•

E

F

E

B

•

B

O

C

B

A

第 3题图

第 4题图

第 6题图

二、填空题：

5、已知 PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78

0

，点 C是⊙O上异于 A、B的任一点，则∠ACB＝

。

。

6、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以 AD为直径的⊙O相切于点 E，AB＝9，CD＝4，则四边形 ABCD的面积为

7、如图，⊙O为 Rt△ABC的内切圆，点 D、E、F为切点，若 AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为

。

8、如图，已知 AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点 B的切线，过⊙O上 A点的直线 AD∥OC，若 OA＝2且 AD

＋OC＝6，则 CD＝

。

C

B

B

C

D

D

•O

A

•

F

A

•

O

B

D

O

C