本文讨论总体参数的点估计。
设总体X的分布类型已知，但它的一个或多个参数未知，借助总体X的一个样本来估计总体的未知参数称为参数的点估计。
【例19.1】某炸药制造厂一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以λ>0为参数的泊松分布，参数λ未知。现有以下的样本值，如表19.1所示。
■ 表19.1
试估计参数λ。
解 由于X服从参数为λ的泊松分布，有λ=E(X)。用样本均值估计总体均值，可得λ的估计值，代码如下：
运行结果如图19.1所示。
■ 图19.1
注释/
np.dot(k,n_k)指k与n_k的点积。
矩估计法
用样本矩估计相应的总体矩，或用样本矩的连续函数估计相应总体矩的连续函数，这种方法称为矩估计法。
【例19.2】设总体X在［a,b］上服从均匀分布，a，b未知。X1,X2,…,Xn是来自X的样本，试求a，b的矩估计量。
解
从方程组中解出a与b，代码如下：
运行结果如图19.2所示。
■ 图19.2
注释/
由题可知，b>a。故这里从solve（）返回的两组解中挑选出了符合实际情况的一种，即索引［0］。
以样本一阶矩A1，二阶矩A2，分别代替总体一、二阶矩μ1与μ2，即可得到a与b的矩估计量：
这里
是样本的二阶中心矩。
取a=5，b=10，检验矩估计法，代码如下：
运行结果如图19.3所示。
■ 图19.3
注释/
scipy中的moment（）可用于求中心矩，其中参数moment=2，指明所求中心矩的阶为2。
从上述输出结果来看，a，b的矩估计值与真值相差无几。
【例19.3】设总体X的均值μ及方差σ2都存在，且有σ2>0,但μ,σ2均为未知。又设X1,X2,…,Xn是来自X的样本。试求μ,σ2的矩估计量。
解
解得
以A1，A2分别代替μ1与μ2，即可得μ及σ2的矩估计量：
例如，假设总体X服从标准正态分布，可计算μ,σ2的矩估计值，代码如下：
运行结果如图19.4所示。
■ 图19.4
最大似然估计法
固定样本观测值x1,x2,…,xn，在未知参数θ取值的可能范围内挑选使似然函数L(x1,x2,…,xn;θ)达到最大值的参数
，作为参数θ的估计值，该方法称为最大似然估计法。
【例19.4】设X：b(1,p),X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本，试求参数p的最大似然估计。
解设p的真值为0.3，生成一个容量为10的样本，代码如下：
运行结果如图19.5所示。
■ 图19.5
求该样本下，p的最大似然估计值，代码如下：
运行结果如图19.6所示。
■ 图19.6
注释/
（1） diag(［p**X［i］*(1-p)**(1-X［i］) for i in range(len(X))］,unpack=True)将列表中的元素作为主对角线元素，返回一个对角阵。
（2） det(A)表示求对角阵A的行列式，即上述列表中所有元素的连乘，构成似然函数。
（3） ln_L.diff(p)指对数似然函数关于p的一阶导数。
从输出结果可以看到，p的最大似然估计值与p的真值相等。
【例19.5】设X：N(μ,σ2)，但μ,σ2均未知，x1,x2,…,xn是来自X的一个样本值。试求μ,σ2的最大似然估计。
解取μ与σ的值分别为1，2，生成一组样本，并在该样本下，求两参数的最大似然估计，代码如下：
运行结果如图19.7所示。
■ 图19.7
上述代码的另一种等价形式为：norm.fit(X),结果一样，代码如下：
如图19.8所示。
■ 图19.8
【例19.6】设总体X在［a,b］上服从均匀分布，a，b未知。x1,x2,…,xn是来自X的一个样本值，试求a，b的最大似然估计。
运行结果如图19.9所示。
■ 图19.9
参考书籍
《Python漫游数学王国——高等数学、线性代数、数理统计及运筹学》
ISBN：9787302597797
作者：毕文斌、毛悦悦
定价：128元
内容简介
本书参考高等学校理工科“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”“运筹学”等课程教学大纲，使用Python语言实现相关计算、图形展示及模型求解，内容包含Python编程语言入门、极限的运算、函数的求导及积分、微分方程求解、级数、行列式计算、线性方程组求解、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、参数估计、假设检验、方差分析与回归、线性规划、非线性规划、动态规划、图与网络计划及排队论等。本书内容翔实，文字精练，例题丰富，注重本科数学理论与科学计算的密切结合。本书可以作为高等学校理工科在校本科生的学习实验用书，也可以作为对Python科学计算感兴趣的人员的参考用书。
