参数估计之矩估计法

文章目录

• 文章目录

• 1. 点估计定义

• 2. 矩估计法

• 3. 通过例题理解矩估计法

• 4. 矩估计优缺点

1. 点估计定义

• 定义

  设 是来自总体的一个样本，用于估计位置参数的统计量称为的估计量，或称为的「点估计」，简称「估计」

• 构造估计量的方式有很多，常用的有「矩估计法」和「最大似然估计法」

2. 矩估计法

• 矩估计法简单点的说，就是用样本的矩，替换(估计)总体的矩。

  记总体阶原点矩为

  样本阶原点矩为

  记总体阶中心矩为

  样本阶中心矩为

3. 通过例题理解矩估计法

• 例1，设总体的均值和方差都存在，且有，但均为未知，又设 为来自的样本，试求的矩估计量。

  解：

  样本的一阶矩 为 ，总体的一阶矩为

  因此有

  样本的二阶矩为 ，总体的一阶矩为

  则有

  由于

  因此有

• 例2，设离散型随机变量 ，其分布律如下

  从中取得样本 ，求的矩估计量

  解：样本一阶矩

  总体一阶矩

  令 ，很容易解出

4. 矩估计优缺点

• 优点
1. 矩估计法原理简单、使用方便，使用时可以不知总体的分布，而且具有一定的优良性质
2. 样本数量足够大时，矩估计的优势也就越明显
• 缺点
1. 当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息，因此矩估计不一定是理想估计
2. 样本数较少时，矩估计的结果将非常糟糕
3. 一般场合下，矩估计不具有唯一性(关于这一点，后面我们会介绍估计值的优良性准则)
4. 矩估计应用的前提是总体的矩存在