常见随机变量分布的方差详细推导与证明

文章目录

• 文章目录

• 1. 分布

• 2. 二项分布

• 3. 泊松分布

• 4. 几何分布

• 5. 超几何分布

• 6. 均匀分布

• 7. 指数分布

• 8. 正态分布

• 关于不同分布的数学期望计算与推导，在文章「数学期望及常见分布的数学期望」中已经给出，这里不再重复证明，直接拿来使用。

1. 分布

• 随机变量服从分布,则其分布律为  此时有 .

  ❝

  证明：
  
  

  ❞

2. 二项分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

3. 泊松分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

4. 几何分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  我们在计算几何分布的数学期望时，引入了一个求导技巧，即

  结合我们的证明需求，该式中， 为常数，因此有

  即

  此时有

  ❞

5. 超几何分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

6. 均匀分布

• ,则其概率密度为 ，此时有

  ❝

  证明:

  ❞

7. 指数分布

• ,则其概率密度为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

8. 正态分布

•  ,则其概率密度为 ，此时有

❝

证明：

令 ，另外我们还知道(「连续型随机变量及其常见分布函数和概率密度」中有相关证明，不在赘述) ，则此时有

❞

❝

证明方法二：

随机变量进行 标准化，令 ， 此时有  ，此时有

❞