方差定义、性质及常见分布的方差查询表

文章目录

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• 1. 引言

• 2. 方差定义

• 3. 方差性质

• 4. 常见分布的期望与方差查询表

1. 引言

我们知道，数学期望表示随机变量的平均值，例如，有一批灯泡，其平均寿命是(小时)，但是仅有这一项指标并不能知道这批灯泡质量的好坏，如有可能大部分的寿命在之间，也有可能其中约一半是高质量的，寿命可能在小时左右，其余的则质量较差，寿命约只有小时，因此，研究随机变量与其平均值的偏离程度是十分必要的，为了度量这个偏离程度，我们很容易想到

2. 方差定义

• 定义

  设是一个随机变量，若存在，则称 为的「方差」. 记为或，即

  
  

  在应用上还引入量，记为，称为「标准差」或「均方差」

  ❝

  实际上，根据方差的定义，方差和均值是有一个单位的问题的，如引言中灯泡的寿命，期望的单位为‘小时’，方差的单位为‘小时的平方’，引入标准差之后，标准差的单位则和期望的单位就保持一致了.

  ❞

• 由定义可知，方差其实是随机变量的函数的数学期望,因此

• 对于离散型随机变量，有

  其中 是的分布律
• 对于连续型随机变量，有

  其中 是的概率密度。

• 在实际计算方差中，我们往往使用

  
  

  ❝

  证明：

  ❞

• 标准化

  设随机变量具有数学期望，方差 ,记

  , 则其期望为

  方差为

  
  

  即 的数学期望为，方差为. 称为的「标准化变量」 .

3. 方差性质

• 设是常数，则

  ❝

  证明:

  根据方差的定义，方差表示随机变量和期望的偏离程度，随机变量恒为一个常数，很明显，不存在偏离，因此

  ❞

• 设是随机变量，是常数，则有
  

  ❝

  证明:

  ❞

  ❝

  证明：

  ❞

• 设 是两个随机变量，则有

  
  

  ❝

  证明：

  ❞

  特别，若相互独立，则有

  
  

  ❝

  证明 ：

  ❞

  这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

• 的充要条件是以概率取常数,即

  ❝

  证明：

  充分性，已知 ,则 .
  

  注意，这里不能根据 判定随机变量X为一个常数， 原因是离散型可以得出这个结论，但是对于连续型，其选中有限个点之后，剩余的点的概率仍为1，但是这部分被选中的点的取值，不一定为该常数。

  ---

  必要性，已知 ,要证明 ,利用反证法，证明如下:

  假设,则对于某一个数，有 ，由切比雪夫不等式，对于任意的 ，有 与假设矛盾，

  ❞

4. 常见分布的期望与方差查询表