常见随机变量分布的数学期望推导与证明

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• 1. 分布

• 2. 二项分布

• 3. 泊松分布

• 4. 几何分布

• 5. 超几何分布

• 6. 均匀分布

• 7. 指数分布

• 8. 正态分布

1. 分布

• 随机变量 服从 分布,则其分布律为

  此时有 .

  ❝

  证明：

  ❞

2. 二项分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

3. 泊松分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  关于泰勒公式之前文章 「离散型随机变量及其常见分布律」有相关描述.

  ❞

  ❝

  证明方法二：

  关于泊松分布所有可能取值的概率和为 1 的证明， 感兴趣的同学可以看看之前的文章 「离散型随机变量及其常见分布律」有相关证明.

  ❞

4. 几何分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

  ❝

  证明方法二：

  我们注意到，求和级数的形式为 , 求和不便，但是我们知道

  ❞

5. 超几何分布

• ,则其分布律为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

6. 均匀分布

• ,则其概率密度为 ，此时有

  ❝

  证明:

  ❞

7. 指数分布

• ,则其概率密度为 ，此时有

  ❝

  证明：

  ❞

  ❝

  证明方法二：

  ❞

8. 正态分布

• ,则其概率密度为 ，此时有

  ❝

  证明：

  关于 的详细证明可看之前文章「连续型随机变量及其常见分布函数和概率密度」中，正态分布必要性证明部分.

  ❞

  ❝

  证明方法二：

  我们知道，一般正态分布可以通过 转为标准正态分布，标准正态分布的期望是很好计算的，设为 ，之后再利用期望的性质 反解出 即可. 下面给出具体的证明步骤：

  标准正态分布的概率密度为 则

  ❞