数学期望及常见分布的数学期望

文章目录

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• 1. 数据期望定义

• 2. 随机变量函数的数学期望

• 3. 二维随机变量函数的期望

• 4. 数学期望性质

• 5. 常见随机变量的数学期望查阅表

1. 数据期望定义

• 设「离散型随机变量」 的分布律为

  若级数

  绝对收敛，则称级数 的和为随机变量 的「数学期望」，记为 . 即

  
  

• 设「连续型随机变量」 的概率密度为 ，若积分

  绝对收敛，则称积分 的值为随机变量 的「数学期望」，记为 . 即

  
  

• 数学期望简称「期望」，又称「均值」

  ❝

  可以用加权平均值来理解期望。

  ❞

2. 随机变量函数的数学期望

• 设 是随机变量 的函数： ( 是连续函数).
1. 如果 是「离散型」随机变量，它的分布律为 若 绝对收敛，则有
2. 如果 是「连续型」随机变量，它的概率密度为 ，若积分

   绝对收敛,则有

3. 二维随机变量函数的期望

• 设 是随机变量 ， 的函数： ( 是连续函数)，那么， 是一个一维随机变量
1. 若 为离散型随机变量，其分布律为 则有

   ，这里假设上式右边的级数绝对收敛。
2. 若 为连续型随机变量，其概率密度为 ，则有

4. 数学期望性质

• 设 是常数，则有

  ❝

  目前我们主要研究离散型随机变量和连续性随机变量，因此，我们从两个方面证明期望性质的正确性

  证明：

  对于离散型，有

  对于连续型，有

  ❞

• 设 是一个随机变量， 是常数，则有

  ❝

  证明：

  对于离散型，有

  对于连续型，有

  ❞

• 设 , 是两个随机变量，则有

  ❝

  证明

  对于离散型，有

  对于连续型，有

  该性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况

  ❞

• 设 , 是两个「相互独立」的随机变量，则有

  ❝

  证明

  对于离散型，有

  对于连续型，有

  该性质可推广到任意有限个「相互独立」的随机变量之积的情况

  ❞

5. 常见随机变量的数学期望查阅表