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50 | 推荐系统（下）：如何通过SVD分析用户和物品的矩阵？
2019-04-10 黄申
程序员的数学基础课
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讲述：黄申
时长 09:13 大小 8.45M
你好，我是黄申。
上一节，我们讲了如何使用矩阵操作，实现基于用户或者物品的协同过滤。实际上，推荐系
统是个很大的课题，你可以尝试不同的想法。比如，对于用户给电影评分的案例，是不是可
以使用 SVD 奇异值的分解，来分解用户评分的矩阵，并找到“潜在”的电影主题呢？如果
在一定程度上实现这个目标，那么我们可以通过用户和主题，以及电影和主题之间的关系来
进行推荐。今天，我们继续使用 MovieLens 中的一个数据集，尝试 Python 代码中的
SVD 分解，并分析一些结果所代表的含义。
SVD 回顾以及在推荐中的应用
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在实现 SVD 分解之前，我们先来回顾一下 SVD 的主要概念和步骤。如果矩阵 是对称的
方阵，那么我们可以求得这个矩阵的特征值和特征向量，并把矩阵 分解为特征值和特征
向量的乘积。
假设我们求出了矩阵 的 个特征值 ，以及这 个特征值所对应的
特征向量 ，那么矩阵 可以表示为：
其中， 是这 个特征向量所张成的 维矩阵，而 是这 个特征值为主对角线
的 维矩阵。这个过程就是特征分解（Eigendecomposition）。
如果我们会把 的这 个特征向量进行标准化处理，那么对于每个特征向量 ，就有
，而这表示 ，此时 的 个特征向量为标准正交基，满足
， 也就是说， 为酉矩阵，有 。这样一来，我们就可以把特征分
解表达式写作：
可是，如果矩阵 不是对称的方阵，那么我们不一定能得到有实数解的特征分解。但是，
SVD 分解可以避免这个问题。
我们可以把 的转置 和 做矩阵乘法，得到一个 维的对称方阵 ，并
对这个对称方阵进行特征分解。分解的时候，我们得到了矩阵 的 个特征值和对应
的 个特征向量 ，其中所有的特征向量叫作 的右奇异向量。通过所有右奇异向量我
们可以构造一个 维的矩阵 。
类似地，如果我们把 和 做矩阵乘法，那么会得到一个 维的对称方阵
。由于 也是方阵，因此我们同样可以对它进行特征分解，并得到矩阵 的
个特征值和对应的 个特征向量 ，其中所有的特征向量向叫作 的左奇异向量。通
过所有左奇异向量我们可以构造一个 的矩阵 。
现在，包含左右奇异向量的 和 都求解出来了，只剩下奇异值矩阵 了。 除了对
角线上是奇异值之外，其他位置的元素都是 0，所以我们只需要求出每个奇异值 就可以
了。之前我们已经推导过， 可以通过两种方式获得。第一种方式是计算下面这个式子：
， ， ，
， ， ，
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