随机过程第9-10讲.pdf
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中国科学院大学 2023～2024 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）
一、 基本概念及 Poisson 过程的一维分布
（1） 独立增量过程
定义：设
}),({ TttX
是一随机过程，如果对于任意的
n
ttt
21
，
Nn
，
niTt
i
1,
，有随机过程
)(tX
的增量：
)()(,),()(),()(
12312 −
−−−
nn
tXtXtXtXtXtX
相互独立，则称随机过程
}),({ TttX
是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集
−= abaT ),,[
，一般假定
0)( =aX
，
则独立增量过程是一马氏过程。特别地，当
0)0( =X
时 ， 独 立 增量过程
}0),({ ttX
是一马氏过程。证明如下：
形式上我们有：
})()(,,)(,)({
})()(,,)(,)(,)({
})(,,)(,)({
})(,,)(,)(,)({
})(,,)(,)()({
11222211
11222211
112211
112211
112211
−−−−
−−−−
−−
−−
−−
====
====
=
===
===
=
====
nnnn
nnnnnn
nn
nnnn
nnnn
xtXxtXxtXxtXP
xtXxtXxtXxtXxtXP
xtXxtXxtXP
xtXxtXxtXxtXP
xtXxtXxtXxtXP
因 此 ， 我 们 只 要 能 证 明 在 已 知
11
)(
−−
=
nn
xtX
条件下，
)(
n
tX
与
2,,2,1,)( −= njtX
j
相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当
2,,2,1,
1
−=
−
njttta
nnj
时，增量
)()( aXtX
j
−
与
)()(
1−
−
nn
tXtX
相 互 独 立 ， 由 于 在 条 件
11
)(
−−
=
nn
xtX
和
0)( =aX
下，即有
)(
j
tX
与
1
)(
−
−
nn
xtX
相互独立。由此可知，在
11
)(
−−
=
nn
xtX
条件下，
)(
n
tX
与
2,,2,1,)( −= njtX
j
相互独立，结果成立。
中国科学院大学 2023～2024 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
（2） 计数过程
定义：在
),0[ t
内出现随机事件
A
的总数组成的过程
}0),({ ttN
称为计数
过程。计数过程满足：
（a）
0)( tN
；
（b）
0
)( NtN
；
（c）
tsts ,0,
，则有：
)()( tNsN
；
（d）
tsts ,0,
，
)()( sNtN −
表示在时间间隔
),[ ts
内事件
A
出现的
次数。
若计数过程在不相交的时间间隔内事件
A
出现的次数是相互独立的，则称此
计数过程为独立增量计数过程。
若计数过程在时间间隔
),[ stt +
内出现事件
A
的次数只与时间差
s
有关，而
与起始时间
t
无关，则称此计数过程为平稳增量计数过程。
（3） Poisson 过程
Poisson 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最
早于 1837 年由法国数学家 Poisson 引入，至今仍为应用最为广泛的随机过程之
一。
定义：计数过程
}0),({ ttN
称为时齐（齐次）Poisson 过程，若满足：
（a）
0)0( =N
；
（b）独立增量过程，即任取
Nnttt
n
,0
21
，
)()(,),()(),(
1121 −
−−
nn
tNtNtNtNtN
相互独立；
（c）增量平稳性，即：
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