机器学习数学基础(一)：极简微积分
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⼀、极限
1、示例
意为：当n趋近于⽆穷⼤时， 趋近于0，则得 极限为0
意为：当n趋近于⽆穷⼤时， 趋近于⽆穷⼤，则得 没有极限
2、求极限
的充要条件是
已知 求解 时 的极限
解：
左右极限存在，但是不相等，
∴ 不存在
⼆、导数
1、什么是导数？
函数图像的切线斜率
2、证明
是f(x)两点割线的斜率，
当 时，两点变为⼀点，即为切线的斜率。
即：f(x)在某点的切线斜率=
3、求导公式推导
【例1】求函数y = c的导数
【例2】求 的导数
4、导数的应⽤
求最⼤值、最⼩值、极⼤值、极⼩值等
三、微分
1、微分与导数的关系
导数写作：
也可以写作：
其中d即是微分运算符
解释：通过导数和微分的⼏何意义可以得出， 是切线的斜率， 和 是不相等的，当 时， ,⼜ ,
则：
2、如何求微分？
由于 ，
则得：
【例⼦】求 的微分
作⽤：近似计算函数的增量
3、微分的⼏何意义
如上图：
当位移为 ,函数增量为 ,
此时， ；
（这⾥可以看出 表示的即为p点切线的斜率）
当 时，
此时， 也就是函数的导数
四、积分
1、什么是积分
计算函数围成的不规则图形的⾯积
在函数 区间上，插⼊n-1个分点： ,
(为了⽅便，把a换为 ,b换为 )
将其划分为n个⼩区间:
在每个⼩区间上任取⼀点：
则得到单个⼩矩形的⾯积为：
所以，函数 区间上的⾯积近似等于：
⽆论加⼊多少个分点，都是有误差的，如何消除误差，求出精确值呢？使⽤极限思想！
思路：让每⼀个⼩区间的⻓度都 ，即只需要最⼤的区间⻓度 即可。
设：最⼤的区间⻓度为
则得到区间⾯积： S=
那么，在区间[a,b]上的⾯积（积分）写作：
2、不定积分
若
则， 是 的不定积分
写作： =
不定积分是微分的逆运算。他们之间的关系，类似于加法和减法，都是互为对⽅的逆运算。
【证明】
被积表达式
先做个积分： =
再做个微分： = = =
则知，被积表达式先积分后微分，结果不变，即不定积分微分互为逆运算
3、定积分
性质1：积分区间的可分性
,其中
性质2：积分中值定理
对于 可以在[a,b]找到⼀个 ,使得
⼏何意义就是：在[a,b]之间⼀定存在⼀个只 得到的⾯积等于 围成的⾯积。
4、微积分基本定理
【⾸先要知道】：
积分变量可以随意变换，因为积分结果是⼀个⾯积，跟积分变量⽆关。
即：
【积分上限函数】
在区间[a,b]之间随意⼀点x，则有
由于积分上限的x才是⾃变量，为了不混淆，⼜因积分变量可以随意变换，则得到积分上限函数为：
【积分上限函数性质】
定理：积分上限函数的导数等于被积函数。
【证明：积分上限函数性质】
由导数性质得：
由积分区间的可分性得：
由中值定理得：
由于 位于 ,当 时，
,其中 是 的原函数
即，连续函数f(x)在[a,b]的定积分=原函数 的⾯积增量。
【证明】
是 的⼀个原函数
是 的另外⼀个原函数
则有：
令 ,
由
则
令
由
则
⼜
则得：
【⼏何解释】
【使⽤：求⾯积】
先根据不定积分性质： = ，即反求导得到
再⽤微积分基本定理： 得到⾯积
【例】
五、多元函数微分
1、偏导数
设⼆元函数 在点 的某个领域内有定义 ,⼀元函数 在点 处可导，则称A为函数： 在点
处关于⾃变量x的偏导数。
记作： 或
（1）Z对于X的偏导数： （X轴移动，Z函数的增⻓量）
固定Y值，沿着X轴⽅向移动，斜率（△Z/△X）即为Z对于X的偏导数。
斜率(与X轴夹⻆)>0:绿⾊ 斜率<0:红⾊
（2）Z对于Y的偏导数： （y轴移动，Z函数的增⻓量）
固定X值，沿着Y轴⽅向移动，斜率（△Z/△Y）即为Z对于Y的偏导数。
斜率(与Y轴夹⻆)>0:绿⾊ 斜率<0:红⾊
已知 在(1, 2) 处的偏导
解：
2、梯度
「 是x轴到l的⻆度」
（1）⼏何意义(往某⽅移动Z函数的增⻓量)
在X&Y偏导夹⻆之间任意⽅向即为⽅向导数（⽆数个）
（2）【例题】
求函数 在点P(1,0)处沿从点P(1, 0)到点Q(2,-1)的⽅向导数
解：
这⾥ 即为 ,
故，x轴到⽅向 的转⻆
∵ ;
∴⽅向导数为
梯度：
（1）⼏何意义（是个向量）
梯度的⽅向：就是函数在这点增⻓最快的⽅向
梯度的模：⼤⼩为⽅向导数的最⼤值，即为
他总是指向Z函数增⻓最⼤的⼤⽅向
（2）【例题】
设
（1）求
（2）已知M(0, 1, -1), 求该点⽅向导数的最⼤值（梯度）和最⼩值.
解：
（1）∵
∴
（2）
∴ ,
lim = 0
n→+∞
3
n
1
3
n
1
lim
n→+∞
3
n
1
lim 2
n→+∞
n
2
n
lim 2
n→+∞
n
lim f(x) = A
x→x
0
lim = lim = A
x→x
0
−
x→x
0
+
例题
f(x) =
⎩⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
x − 1, x < 0
0, x = 0
x + 1, x > 0
x → 0 f(x)
lim f(x) = lim (x + 1) = 1
x→0
+
x→0
+
lim f(x) = lim (x − 1) = −1
x→0
−
x→0
−
lim f(x)
x→0
Δy
Δx
Δx → 0
lim
Δx→0
Δy
Δx
lim
Δx→0
Δy
Δx
= lim
Δx→0
Δx
f(x+Δx)−f(x)
= lim
Δx→0
Δx
c−c
= 0
y = x
2
lim
Δx→0
Δy
Δx
= lim
Δx→0
Δx
f(x+Δx)−f(x)
= lim
Δx→0
Δx
x +Δx +2xΔx−x
2 2 2
= lim Δx + 2x
Δx→0
= 2x
f (x) = lim
′
Δx→0
Δy
Δx
f (x) =
′
dy
dx
dy
dx
dy Δy Δx → 0 dy = Δy dx = Δx
f (x) = lim =
′
Δx→0
Δy
Δx
dy
dx
f (x) =
′
dy
dx
dy = f (x)dx
′
y = x
6
d(x ) = 6x dx
6 5
Δx Δy
Δx = dx Δy = dy + o(Δx)
dy
dx
Δx → 0 dy → Δy
=
dy
dx
Δy
Δx
作⽤
推导过程
[a, b] x , x , ...x
1 2 n−1
x
0
x
n
[x , x ], [x , x ]...[x , x ]
0 1 1 2 n−1
n
ξ , ξ , ...ξ
1 2
n
f(ξ )(x − x )
i i i−1
[a, b] f(ξ )(x − x ) + ... + f(ξ )(x − x ) + ... + f(ξ )(x − x ) = f(ξ )(x − x )
1 1 0
i i i−1
n n
n−1
∑
i=1
n
i i i−1
→ 0 → 0
λ
lim [ f(ξ )(x − x )]
λ→0
∑
i=1
n
i i i−1
f(x)dx∫
a
b
什么是不定积分？
F (x) = f(x)
′
F (x) + C f(x)
f(x)dx∫ F (x) + C
不定积分与微分的关系
f(x)dx
f(x)dx∫ F (x) + C
d[ f(x)dx]∫ d[F (x) + C] dF (X) + dC f(x)dx
性质
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx∫
a
b
∫
a
c
∫
c
b
a =< c =< b
f(x)dx∫
a
b
ξ f(x)dx = f(ξ)(b − a)∫
a
b
f(ξ) ∗ (b − a) f(x)dx∫
a
b
积分上限函数
f(x)dx = f(t)dt = f (k)dk∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
f(x)dx∫
a
x
Φ = f(t)dt∫
a
x
Φ (x) = f (x)
′
Φ (x)
′
= lim
Δx→0
Δx
ΔΦ
= lim
Δx→0
Δx
Φ(x+Δx)−Φx
= lim
Δx→0
Δx
f(t)dt− f(t)dt∫
a
x+Δx
∫
a
x
= lim
Δx→0
Δx
f(x)dx∫
x
x+Δx
= lim
Δx→0
Δx
f(ξ)Δx
= lim f(ξ)
Δx→0
ξ [x, x + Δx] Δx → 0 ξ → x
= lim f(ξ)
ξ→x
= f(x)
微积分基本定理（⽜顿-莱布尼兹公式）
f(x)dx = F (b) − F (a)∫
a
b
F (x) f(x)
F (x)∣
a
b
Φ(x) f(x)
F (x) f(x)
Φ(x) = F (x) + C
x = a
Φ(a) = f(t)dt = 0∫
a
a
Φ(a) = F (a) + C
C = −F (a)
x = b
Φ(a) = f(t)dt = f (x)dx∫
a
b
∫
a
b
Φ(b) = F (b) + C
f(x)dx = F (b) + C∫
a
b
C = −F (a)
f(x)dx = F (b) − F (a)∫
a
b
f(x)dx∫ F (x) + C F (x)
f(x)dx = F (b) − F (a)∫
a
b
x dx∫
0
1
2
= x ∣
3
1
3
0
1
= − 0
3
1
=
3
1
定义
z = f(x, y) (x , y )
0 0
y = y
0
f(x, y )
0
x = x
0
z = f(x, y) (x , y )
0 0
f (x , y )
x
0 0
∣
∂x
∂z
x=x y=y
0 0
∣
∂x
∂f
x=x y=y
0 0
z ∣
x x=x y=y
0 0
⼏何意义
∂X
∂Z
∂Y
∂Z
求偏导
f(x, y) = x + 3xy + y
2 2
f (x, y) = 2x + 3y
x
f (x, y) = 3x + 2y
y
f (1, 2) = (2x + 3y)∣ = 8
x
x=1,y=2
f (1, 2) = (3x + 2y)∣ = 7
y
x=1,y=2
⽅向导数
= cosφ + sinφ
∂l
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
φ
z = xe
2y
l = 1, −1
P Q
l φ = −
4
π
∣ = e ∣ = 1
∂x
∂z
(1,0)
2y
(1,0)
∣ = 2xe ∣ = 2
∂y
∂z
(1,0)
2y
(1,0)
= cos(− ) + 2sin(− ) = −
∂l
∂z
4
π
4
π
2
2
梯度
grad = ( , )∣
z
∂x
∂z
∂y
∂z
(x,y)
[ ] + [ ]
∂X
∂Z
2
∂Y
∂Z
2
u = xyz + z + 5
2
grad
u
= yz, = xz, = xy + 2z
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
grad = (yz, xz, xy + 2z)
u
grad ∣ = (yz, xz, xy + 2z)∣ = (−1, 0, −2)
u
(0,1,−1) (0,1,−1)
max{ ∣ } = ∣∣grad ∣∣ =
∂x
∂u
M u
5
min{ ∣ } = −∣∣grad ∣∣ = −
∂x
∂u
M u
5
of 1
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