单墫、葛军：数学解题36计.pdf
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1 泄露天机 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
2 路在脚下 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
3 以曲求伸 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4 依靠感觉 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
5 先分后和 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
6 解锁去枷 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
7 天上人间 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
8 老树新花 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
9 等与不等 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
10 大胆假设 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
11 上下求索 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
12 横看侧看 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
13 打开抽屉 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
14 子虚乌有 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
15 精心设计 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
16 以巧伏人 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
17 驯服野马 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
18 天下一绝 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
19 更进一步 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1 泄露天机
旧时王谢堂前燕, 飞入寻常百姓家。
— 刘禹锡《乌衣巷》
下面是第一届 IMO, 第一届 IMO (在罗马尼亚古都布拉索夫举行) 的两道试题 (编号是原来的编
号, 括号中的国名是出这道题的国家, 以下同此).
第 1 题 (2, 罗马尼亚). x 取什么实数值时, 等式
(a)
q
x +
√
2x − 1 +
q
x −
√
2x − 1 =
√
2,
(b)
q
x +
√
2x − 1 +
q
x −
√
2x − 1 = 1,
(c)
q
x +
√
2x − 1 +
q
x −
√
2x − 1 = 2
能成立? 这里的平方根取非负数.
第 2 题 (3, 匈牙利). 设 a、b、c 及 x 为实数, 并且 cos x 满足二次方程
a cos
2
x + b cosx + c = 0. ①
求作一个使 cos(2x) 能够满足的二次方程.
在 a = 4, b = 2, c = −1 时, 比较一下这两个方程.
这两道题平平常常, 在现在中学的习题里就能够找到, 可见数学竞赛并非高不可攀. 当然现在的
水平大大地超过了曾经, 但这种类型的题目用作训练, 加强基础, 还是很有用处的.
虽然题目不难, 也还是要谨慎从事, 尤其罗马尼亚那道题, 很容易出错.
这道题着重考察所谓算术根的概念. 题目中的最后一句话“这里的平方根取非负数”, 已经泄漏
了天机.
此外还需要注意方程左边那个式子的定义域是 x ⩾
1
2
. 在这个定义域中, 左式有意义而且取非负
值. 现在将 (a) 中的方程两边平方, 由于
q
x +
√
2x − 1 ·
q
x −
√
2x − 1 =
p
x
2
− (2x − 1) =
p
(x − 1)
2
= |x −1| (算术根),
经过整理后, 方程成为 2x + 2|x − 1| = 2. 函数 2x + 2|x − 1| =
4x − 2, 若 x > 1,
2, 若 x ⩽ 1.
所以, (a) 的答案是
1
2
⩽ x ⩽ 1. (注意定义域!) 同样可得 (b) 无解, (c) 的解为
3
2
.
本题的另一种解法需要一点技巧, 将形如
p
a + 2
√
b 的式子化简. 这只有在 b 可表成两个实数 c、
d 之积, 并且 a = c + d 时才是可能的.
例如,
p
5 + 2
√
6 =
q
(
√
2 +
√
3)
2
=
√
2 +
√
3, 其中 b = 6 = 2 ×3, a = 5 = 2 + 3.
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